Asocijativni bialgebroid
U matematici, ako je [math]\displaystyle{ L }[/math] asocijativna algebra nad nekim polje k, tada je lijevi asocijativni [math]\displaystyle{ L }[/math]-bialgebroid druga asocijativna k-algebra [math]\displaystyle{ H }[/math] zajedno sa slijedećim preslikanjima:[1] homomorfizam algebri [math]\displaystyle{ \alpha:L\to H }[/math] kojeg nazivamo preslikavanjem izvora, homomorfizam algebri [math]\displaystyle{ \beta:L^{\mathrm{op}}\to H }[/math] kojeg nazivamo preslikavenjem ponora, koji su takvi da slike od [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] i [math]\displaystyle{ \beta }[/math] komutiraju u [math]\displaystyle{ H }[/math], inducirajući dakle strukturu [math]\displaystyle{ L }[/math]-bimodula na [math]\displaystyle{ H }[/math] određenog pravilom [math]\displaystyle{ a.h.b = \alpha(a)\beta(b) h }[/math] za sve [math]\displaystyle{ a,b\in L, h\in H }[/math]; nadalje morfizam [math]\displaystyle{ L }[/math]-bimodula [math]\displaystyle{ \Delta:H\to H\otimes_L H }[/math], za kojeg zahtijevamo da je kounitalno i koasocijativno komnoženje [math]\displaystyle{ H }[/math] na objektu [math]\displaystyle{ H }[/math] u monoidalnoj kategoriju [math]\displaystyle{ L }[/math]-bimodula s monoidalnim produktom [math]\displaystyle{ \otimes_L }[/math]. Nadalje, za pripadna kojedinicu [math]\displaystyle{ \epsilon:H\to L }[/math] tog komnoženja zahtijevamo da je lijevi kokarakter (u drugom jeziku, to znači da je preslikavanja [math]\displaystyle{ H\otimes L\ni h\otimes l\mapsto \epsilon(h\alpha(l))\in L }[/math] lijevo unitalno djelovanje koje proširuje množenje (gledano kao lijevo regularno djelovanje) [math]\displaystyle{ L\otimes L\to L }[/math] duž [math]\displaystyle{ \alpha\otimes\mathrm{id}_L }[/math]). Nadalje, tražimo usuglašenost među komnoženjem [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] i množenjima algebre [math]\displaystyle{ H }[/math] i njenog tenzorskog kvadrata [math]\displaystyle{ H\otimes H }[/math]. Ako je algebra [math]\displaystyle{ L }[/math] nekomutativna, tenzorski produkt [math]\displaystyle{ H\otimes_L H }[/math] nad [math]\displaystyle{ L }[/math] nije algebra, dakle traženje uvjete tipa da je [math]\displaystyle{ \Delta:H\to H\otimes_L H }[/math] morfizam k-algebri, kako se to radi kod bialgebri, nema smisla. Umjesto toga, zahtijevamo da [math]\displaystyle{ H\otimes_L H }[/math] ima k-potprostor [math]\displaystyle{ T }[/math] koji sadržava sliku preslikavanja [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] i ima dobro definirano množenje inducirano množenjem na [math]\displaystyle{ H\otimes H }[/math] uzduž projekcije na [math]\displaystyle{ H\otimes_L H }[/math]. Zahtijevamo, nadalje, da je kosuženje (korestrikcija) [math]\displaystyle{ \Delta|^T :H\to T }[/math] homomorfizam unitalnih algebri. Ako je homomorfizam za jedan takav potprostor [math]\displaystyle{ T }[/math], tada je za svaki, i tada možemo napraviti kanonski izbor za [math]\displaystyle{ T }[/math], naime Takeuchijev umnožak [math]\displaystyle{ H\times_L H\subset H\otimes_L H }[/math],[2] koji je u svakom slučaju algebra s množenjem induciranim uzduž projekcije s [math]\displaystyle{ H\otimes H }[/math]. Proizlazi da je dovoljno provjeriti da je slika od [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] sadržana u Takeuchijevom umnošku i da je kosuženje komnoženja na njega homomorfizam algebri. Brzeziński i Militaru su pokazali da je pojam asocijativnog bialgebroida ekvivalentan pojmu [math]\displaystyle{ \times_L }[/math]-algebre kojeg je uveo Takeuchi još 1977[3].
Pojam asocijativnog bialgebroida je poopćenje pojma k-bialgebre gdje je komutativni bazni prsten zamijenjen nekomutativnom k-algebrom [math]\displaystyle{ L }[/math]. Hopfov algebroid nad [math]\displaystyle{ L }[/math] je uređeni par asocijativnog bialgebroida s totalnom algebrom [math]\displaystyle{ H }[/math] i antiendomorfizma algebre [math]\displaystyle{ H }[/math] koji zadovoljava neke dodatne uvjete (za razliku od slučaja asocijativnih bialgebroida gdje su osnovnee varijante definicije u literaturi zapravo ekvivalentne, u literaturi se promatra više sličnih ali bitno neekvivalentnih varijanti pojma Hopfovog algebroida).
Naziv bialgebroid je uvela J-H. Lu.[4] Često izostavljamo pomen asocijativnosti u nazivu, čija glavna funkcija je razlikovanje od Liejevih bialgebroida, koje također često zovemo naprosto bialgebroidima. Asocijativni bialgebroidi se pojavljuju u dvije kiralne verzije, lijevoj i desnoj. Dualan je pojam bikoalgebroida[5].
References
- PREUSMJERI Predložak:Izvori
Vanjske poveznice
- nLab, Associative bialgebroid, https://ncatlab.org/nlab/show/bialgebroid
- Stjepan Meljanac, Zoran Škoda, Martina Stojić, Lie algebra type noncommutative phase spaces are Hopf algebroids, Lett. Math. Phys. 107:3, 475–503 (2017) http://dx.doi.org/10.1007/s11005-016-0908-9 http://arxiv.org/abs/1409.8188
- ↑ Böhm, Gabriella (2008), "Hopf Algebroids", Handbook of algebra, arXiv:0805.3806
- ↑ Brzezinski, Tomasz; Militaru, Gigel (2000), Bialgebroids, [math]\displaystyle{ \times_A }[/math]-bialgebras and duality, arXiv:math.QA/0012164
- ↑ M. Takeuchi, Groups of algebras over [math]\displaystyle{ A \times \bar{A} }[/math], J. Math. Soc. Japan 29, 459–492, 1977
- ↑ Lu, Jiang-HUA (1996), "Hopf Algebroids and Quantum Groupoids", International Journal of Mathematics 07: 47–70, arXiv:q-alg/9505024, doi:10.1142/S0129167X96000050, http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=95e:16037
- ↑ Imre Bálint, Scalar extension of bicoalgebroids, Appl. Categor. Struct. 16, 29–55 (2008)