Bernsteinov polinom

Aproksimacija grafa funkcije upotrebom Bernsteinovog polinoma.

Bernsteinov polinom se može uzeti kao aproksimacija funkcije neprekidne na segmentu i to je polinom koji služi kao primjer za Weierstrassov teorem o aproksimaciji neprekidne funkcije na segmentu polinomom, koji govori da se razlika između funkcije i traženog polinoma (teorem ne daje metodu kako da se polinom nađe, nego samo utvrđuje postojanje) može napraviti proizvoljno malom, tj. [math]\displaystyle{ (\forall \epsilon \gt 0)(|f(x) - P(x)| \lt \epsilon) }[/math] gdje je P traženi polinom.

Bernsteinov polinom glasi (u slučaju segmenta [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math]):

[math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n f \left ( \frac{k}{n} \right ) \binom{n}{k} x^k (1 - x)^{n-k} }[/math]

Gdje je f funkcija neprekidna na segmentu realnih brojeva. Bernsteinov polinom se jednostavno izračunava: segment [0, 1] se podijeli na n jednakih dijelova i u dobivenim točkama [math]\displaystyle{ 0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, ..., \frac{n - 1}{n}, 1 }[/math] se računaju vrijednosti funkcije.

U slučaju segmenta [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] Bernsteinov polinom glasi:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{(b - a)^n} \sum_{k=0}^n f \left ( a + \frac{k}{n}(b - a) \right ) \binom{n}{k} (x - a)^k (b - x)^{n - k} }[/math]

Vidi još

• Binomni koeficijent