Cayley-Hamiltonov teorem

Cayley-Hamiltonov teorem je jedan od najznačajnijih tvrdnji u linearnoj algebri. Glasi:

Svaka kvadratna matrica poništava svoj karakteristični polinom.

Promotrimo na primjer matricu

[math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}. }[/math]

Njen karakteristični polinom je

[math]\displaystyle{ p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\ -3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2. }[/math]

A u suglasju s Cayley-Hamiltonovim teoremom:

[math]\displaystyle{ A^2-5A-2I_2=0 }[/math]

Dokaz

Svaka matrica :[math]\displaystyle{ A }[/math] ima svoj karakteristicni polinom koji je jednak:

[math]\displaystyle{ P(\lambda)=a_n*\lambda^n+a_{n-1}*\lambda^{n-1} +...+a_1*\lambda+a_0=0 }[/math]

To jest u matričnom obliku je:

[math]\displaystyle{ P(A)=a_n*A^n+a_{n-1}*A^{n-1} +...+a_1*A+a_0=0 }[/math]

gdje je :[math]\displaystyle{ A }[/math] kvadratna matrica.

Definirajmo drugu matricu :[math]\displaystyle{ B }[/math], koja je jednaka:

[math]\displaystyle{ B=(A - \lambda*E) }[/math]

gdje je :[math]\displaystyle{ E }[/math] jedinična matrica.

Inverzna matrica matrice :[math]\displaystyle{ B }[/math] je jednaka:

[math]\displaystyle{ B^{-1}=\frac{1}{det(B)}*adj(B) }[/math]

Pomnožimo ovu matrinčnu jednadžbu sa B s lijeve i desne strane:

[math]\displaystyle{ B*B^{-1}=\frac{B}{det(B)}*adj(B) }[/math]

[math]\displaystyle{ B^{-1}*B=\frac{1}{det(B)}*adj(B)*B }[/math]

Slijedi:

[math]\displaystyle{ E=\frac{B}{det(B)}*adj(B) }[/math]

[math]\displaystyle{ E=\frac{1}{det(B)}*adj(B)*B }[/math]

[math]\displaystyle{ det(B)*E=B*adj(B) }[/math]

[math]\displaystyle{ det(B)*E=adj(B)*B }[/math]

Adjungovana matrica matrice B se može predstaviti kao:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n }[/math]

Ako ovo uvrstimo u jednu od prethodnih formula, dobijemo:

[math]\displaystyle{ det(B)*E=B*\sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n }[/math]

[math]\displaystyle{ det(B)*E=(A -\lambda*E)*\sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n }[/math]

[math]\displaystyle{ det(B)*E=A*\sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n - \lambda*E*\sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n }[/math]

Razvijmo sumu u red oblika:

[math]\displaystyle{ det(B)*E=A*B_0 +A*\lambda*B_1 + A*\lambda^2*B_2+...+A*\lambda^{n-1}*B_{n-1} - \lambda*B_0-\lambda^2*B_1-...-\lambda^n*B_{n-1} }[/math]

Izvucimo zajedničke množitelje za članove reda ispred zagrade:

[math]\displaystyle{ det(B)*E=A*B_0 +\lambda*(A*B_1-B_0) + \lambda^2*(A*B_2-B_1)+...+\lambda^{n-1}(A*B_{n-1}-B_{n-2}) - \lambda^n*B_{n-1} }[/math]

Usporedimo ovu jednadžbu sa karakterističnim polinomom matrice :[math]\displaystyle{ A }[/math]

[math]\displaystyle{ P(A)=a_n*A^n+a_{n-1}*A^{n-1} +...+a_1*A+a_0=0 }[/math]

Da bi ova dva polinoma bila jednaka, njihovi članovi moraju biti jednaki to jest:

[math]\displaystyle{ A*B_0=a_0*E }[/math]

[math]\displaystyle{ A*B_1-B_0=a_1*E }[/math]

. . . . . . . . .

[math]\displaystyle{ A*B_{n-1}-B_{n-2}=a_{n-1}*E }[/math]

[math]\displaystyle{ B_{n-1}=a_n*E }[/math]

Ako dobijeni sistem jednadžbi pomnožimo sa A u rastućem redoslijeu, počev od druge jednadžbe, dobijemo:

[math]\displaystyle{ A*B_0=a_0*E }[/math]

[math]\displaystyle{ A^2*B_1-A*B_0=a_1*A }[/math]

. . . . . . . . .

[math]\displaystyle{ A^n*B_{n-1}-A^{n-1}B_{n-2}=a_{n-1}*A^{n-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ A^n*B_{n-1}=a_n*A^n }[/math]

Ako sve ove jednadžbe uvrstimo u karakterističnu jednadžbu, dobijemo:

[math]\displaystyle{ P(A)=A*B_0+A^2*B_1-A*B_0+...+A^n*B_{n-1}-A^{n-1}B_{n-2}-A^n*B_{n-1} }[/math]

Nakon sređivanja jednakosti dobijemo da je:

[math]\displaystyle{ P(A)=0 }[/math]

Pogreška pri izradbi sličice: Spremanje smanjene slike ("thumbnail") na ponuđenu mjesto nije moguće.

Nedovršeni članak Cayley-Hamiltonov teorem koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.