Graf funkcije

Graf funkcije f(x) = x⁴ − 4^x na intervalu [-2,+3]. Također su prikazana i dva realna rješenja i globalni minimum na istom intervalu.

U matematici, graf funkcije f je skup svih uređenih parova (x, f(x)). Ako je ulazna funkcija x skalarna, njezin graf (krivulja) ima dvije dimenzije. Ako je zavisna varijabla x uređeni par (x₁, x₂) realnih brojeva, graf (površina) je skup svih uređenih trojki (x₁, x₂, f(x₁, x₂)).

U znanosti, inženjerstvu, tehnologiji, financijama i drugim područjima, grafovi se koriste za različite svrhe. U najjednostavnijem slučaju jedna se varijabla grafički prikazuje kao funkcija druge varijable, obično pomoću pravokutnih osi.

U poljima moderne matematike, poput teorije skupova, funkcija i njezin graf označavaju isti koncept.

Vrste grafova

Ovisno o najvećoj potenciji nepoznanice, postoji više vrsta grafova:

Objašnjenje grafa linearne funkcije.

Prikaz osječka pravca na objema koordinatnim osima

Linearna funkcija

Funkciju [math]\displaystyle{ f:R\rarr R }[/math] zadanu formulom [math]\displaystyle{ f(x)=kx+l }[/math], zovemo linearna funkcija, a graf joj iskazujemo pravcem. Varijabla l označava sjecište grafa s y-osi, dok varijabla k izražava nagib pravca. Nagib k može se izračunati kao [math]\displaystyle{ \frac{\Delta y}{\Delta x} }[/math]ili kao tangens kuta pravca nad x-osi. Derivacija linearne funkcije iskazana je njenim nagibom.

Kvadratna funkcija

Ako pak funkcija ima oblik [math]\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c }[/math], zovemo ju kvadratna funkcija. Ako je funkcija oblika [math]\displaystyle{ f(x)=x^2(ax^2+b)+c }[/math], odnosno jednostavnije, [math]\displaystyle{ f(x)=ax^4+bx^2+c }[/math], tad se naziva bikvadratna funkcija. Funkcije ovog oblika su parabole, čija realna rješenja (nultočke) x₁ i x₂ nakon izjednačavanja s nulom daju odsječke grafa na x-osi, sukladno formuli [math]\displaystyle{ _1x_2=\frac{-b\plusmn\sqrt{b^2-4ac}}{2a} }[/math]. Tjeme kvadratne funkcije možemo dobiti općom formulom [math]\displaystyle{ (x_0=\frac{x_1+x_2}{2}, f(x_0)) }[/math], ili jednostavnije [math]\displaystyle{ (\frac{-b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a}) }[/math], gdje su a, b i c koeficijenti kvadratne funkcije. Ukoliko je varijabla a pozitivna, funkcija prvo pada pa raste, a ako je negativna događa se obrnuto. S obzirom da je najveća potencija funkcije parna (2), funkcija počinje i završava na istoj "strani" grafa. Derivacija kvadratne funkcije je pravac 2ax+b.

Diskriminanta funkcije

Diskriminanta je vrijednost opisana formulom [math]\displaystyle{ D=b^2-4ac }[/math], gdje su a, b i c koeficijenti kvadratne jednadžbe, koja nam govori koliko rješenja ima određena kvadratna jednadžba. Ako je vrijednost diskriminante veća od nule, funkcija tad dodiruje x-os u barem dvije točke, a njezina jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D=0, tjeme funkcije leži na x-osi (dodiruje x-os u jednoj točki), a njezina jednadžba ima jedno realno i jedno kompleksno rješenje. Ako je diskriminanta manja od nule, funkcija ne dodiruje x-os, i ima dva kompleksna rješenja.

Funkcije višeg reda

Pogreška pri izradbi sličice: Spremanje smanjene slike ("thumbnail") na ponuđenu mjesto nije moguće.

Podrobniji članak o temi: Polinom

Funkcija oblika [math]\displaystyle{ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0 }[/math] naziva se polinom n-tog reda/stupnja. Svaki se takav polinom može napisati u obliku produkta: [math]\displaystyle{ f(x)=a_n(x-x_1)(x-x_1)(x-x_2)\cdot...\cdot(x-x_n) }[/math], gdje su x₁, x₂, ... x_n sva rješenja jednadžbe f(x)=0. Racionalna funkcija zadana je formulom [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} }[/math], gdje su g i h polinomi (h ne smije biti nula).

Izvori

1. PREUSMJERI Predložak:Izvori

Vanjske poveznice

• Graph of function, derivative and antiderivative plotter
• Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Graphing slope-intercept - simulacija povezanosti funkcije i izgleda grafa, PhET, Sveučilište u Coloradu