Jednadžba pravca

O pravcu se može razmišljati kao o najkraćoj udaljenosti između dviju točaka ili kao o krivulji s beskonačno velikim radijusom zakrivljenosti. Pojmovi kao što su točke i pravci te njihovi jednostavni i složeniji odnosi u prostoru jedan su od temelja Euklidske geometrije, a kasnije i analitičke geometrije kakvu je danas poznajemo.

Jednadžba pravca

Implicitna jednadžba pravca

Razmatramo li jednakost oblika

[math]\displaystyle{ Ax+By+C=0 \, }[/math]

ustanovit ćemo da postoji beskonačan broj parova x,y koji udovoljavaju jednakosti. Kako svaki uređen par brojeva u kartezijanskom koordinatnom sustavu x0y određuje koordinate jedne točke, grafički prikaz svih točaka daje nam sliku pravca u ravnini, a gore prikazanu jednadžbu nazivamo implicitnom ili općom jednadžbom pravca.

Eksplicitna jednadžba pravca

Preuredimo li implicitnu jednadžbu pravca

[math]\displaystyle{ Ax+By+C=0 \, }[/math]

u drugi oblik kako slijedi

[math]\displaystyle{ By=-Ax-C \, }[/math]

[math]\displaystyle{ y= -\frac{A}{B}x- \frac{C}{B}\, }[/math]

naći ćemo i eksplicitnu jednadžbu pravca koja se može zapisati i u obliku

[math]\displaystyle{ y= ax+b \, }[/math]

gdje a i b ovise o A, B i C na način da je

[math]\displaystyle{ a = -\frac{A}{B} }[/math]

[math]\displaystyle{ b = -\frac{C}{B} }[/math]

Eksplicitna jednadžba pravca izravno prikazuje koficijent smjera pravca, odn. nagib pravca a te odsječak b koji pravac određuje na y-osi, odn. ordinati.

Segmentna jednadžba pravca

Grafički prikaz pravca y=ax+b i njegovih odsječaka na osima x i y.

Preuredimo li sada eksplicitnu jednadžbu pravca

[math]\displaystyle{ y= ax+b \, }[/math]

u treći oblik kako slijedi

[math]\displaystyle{ y-ax= b \, }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{y}{b} - \frac{ax}{b} = 1 \, }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{y}{b} + \frac{x}{\frac{-b}{a}} = 1 \, }[/math]

naći ćemo i jednadžbu pravca u segmentnom obliku gdje su b i -b/a segmenti ili odsječci na y, odn. x-osi. Segmentna jednadžba pravca može se zapisati i u sljedećem obliku

[math]\displaystyle{ \frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1 \, }[/math]

gdje su

[math]\displaystyle{ m = -\frac{b}{a}, \, }[/math]

[math]\displaystyle{ n = b. \, }[/math]

Druge oznake

Ponekad se implicitna jednadžba pravca iskazuje u obliku

[math]\displaystyle{ ax+by+c=0 \, }[/math]

gdje se tada eksplicitna jednadžba pravca prikazuje kao

[math]\displaystyle{ y= kx+l \, }[/math]

gdje je k koeficijent smjer pravca, a l odsječak na y-osi.

Određenost pravca

Pravac je u ravnini određen ili sa zadanom točkom kroz koju prolazi pravac i koeficijentom smjera ili s dvjema zadanim točkama kroz koje pravac prolazi.

Pravac određen točkom i koeficijentom smjera

Neka je pravac određen točkom [math]\displaystyle{ ''T'' (x_1, y_1) }[/math] i koeficijentom smjera a. Jednadžba pravca se u tom slučaju uobičajeno prikazuje u obliku

[math]\displaystyle{ y-y_1= a(x-x_1) \, }[/math].

Pravac određen dvjema točkama

Pravac je po definiciji određen dvjema točkama koje nisu jednake, a jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke [math]\displaystyle{ ''T_1''(x_1, y_1) }[/math] i [math]\displaystyle{ ''T_2'' (x_2, y_2) }[/math] prikazuje se uobičajeno u obliku

[math]\displaystyle{ y-y_1= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) \, }[/math].

Značaj

Pravac, njegovu grafičku i matematičku interpretaciju nalazimo u brojnim područjima matematike i znanosti. Naime, razmotrimo li eksplicitni oblik jednadžbe pravca

[math]\displaystyle{ y= ax+b \, }[/math]

i ukoliko definiramo da je x slobodna promjenljiva veličina, odn. nezavisna varijabla, a y zavisna varijabla gdje će nezavisna varijabla poprimati vrijednosti iz domene realnih brojeva i gdje će se svakom elementu domene pridružiti jedan i samo jedan odgovarajući element kodomene, tada gore prikazani izraz možemo nazvati funkcijom gdje je

[math]\displaystyle{ y= f(x) = ax+b \, }[/math]

Kodomenu nazivamo i područjem vrijednosti funkcije, a u slučaju gdje je funkcija oblika: [math]\displaystyle{ y= ax+b }[/math], funkciju nazivamo i linearnom funkcijom, a pravac grafom ili grafičkim prikazom takve funkcije. Linearna funkcija uključuje i proporcionalnu, odn. razmjernu funkciju oblika

[math]\displaystyle{ y= f(x) = ax \, }[/math]

koju slijede brojni prirodni zakoni i pojave u svim područjima znanosti.