Kinetička teorija plinova
Kinetička teorija plinova je tumačenje makroskopskih svojstava plinova na temelju gibanja njihovih molekula. Osnovne su postavke teorije:
- molekule su najmanji djelići kemijskih tvari koji sadrže kemijska svojstva makroskopske tvari;
- molekule su u stalnom, kaotičnom gibanju (kinetička energija molekularnoga sustava predstavlja toplinu);
- međusobno djelovanje molekula i njihovo djelovanje na stijenke posude u kojoj se plin nalazi može se tretirati, na bazi klasične mehanike, kao sudari ili srazovi;
- zbog velikoga broja molekula primjenljive su metode statističke fizike.
Ako se zanemari međusobno djelovanje molekula, govori se o idealnom plinu, za koji se jednostavno izračunavaju temeljne termodinamičke veličine: tlak, temperatura i specifični toplinski kapacitet.
Plin, koji u jedinici volumena sadrži n molekula mase m koje se gibaju prosječnom brzinom v, vrši na stijenke posude tlak p:
- [math]\displaystyle{ p = \frac{n \cdot m \cdot v^2}{3} }[/math]
U klasičnoj statističkoj fizici pretpostavlja se jednaka raspodjela energije sustava po raspoloživim stupnjevima slobode (kod čistoga translatornoga gibanja 3 prostorne komponente), pri čemu na svaki otpada srednja energija Esr:
- [math]\displaystyle{ E_{sr} = \frac{k_B \cdot T}{2} }[/math]
gdje je: kB - Boltzmannova konstanta, a T - termodinamička temperatura.
Ukupna energija jednoga mola plina (kinetička energija N molekula) dana je s:
- [math]\displaystyle{ E = \frac{3 \cdot N \cdot k_B \cdot T}{2} }[/math]
gdje se faktor 3N kB/2 naziva specifičnim toplinskim kapacitetom jednoatomnih plinova.
Kinetičkom teorijom plinova objašnjavaju se i druge pojave, primjerice difuzija, Brownovo gibanje, viskoznost i toplinska provodnost. Za realne plinove teorija daje ili približne rezultate, primjenljive u određenom rasponu temperatura i tlakova, ili se u razmatranje moraju uključiti potencijalna energija te svojstva molekula koja utječu na njihovo međudjelovanje i koja, općenito uzevši, ovise o temperaturi. [1]
Dokaz za kinetičku teoriju plinova je Brownovo gibanje, koji je primijetio kretanje peluda ispod mikroskopa, a koje nastaje zbog kretanja i sudaranja nevidljivih čestica. Kao što je naglasio Albert Einstein 1905., eksperimentalni dokazi kinetičke teorije plinova su ujedno i dokazi postojanja atoma i molekula.
Pretpostavke
Kinetička teorija plinova se zasniva na sljedećim pretpostavkama:
- plin se sastoji od vrlo malih čestica, koji imaju neku masu;
- broj čestica u plinu je toliko velik, da se mogu primijeniti statistički zakoni;
- ti atomi i molekule su u stalnom i slučajnom kretanju. Brze pokretne čestice se stalno sudaraju sa stijenkama spremnika u kojem se nalaze;
- srazovi ili sudari čestica i stijenki spremnika su savršeno elastični;
- osim za vrijeme sraza ili sudara, međudjelovanje između molekula je zanemarivo (nema međumolekularnih sila);
- ukupni obujam čestica plina je zanemariv u usporedbi sa obujmom spremnika u kojem se nalaze. Drugim riječima, veličina molekula je zanemariva u odnosu na razmak izmedu njih;
- molekule imaju oblik savršene kugle i elastične su;
- prosječna kinetička energija čestica plina ovisi samo o temperaturi sustava;
- utjecaj posebne teorije relativnosti je zanemariv;
- utjecaj kvantne mehanike je zanemariv. To znači da je udaljenost između čestica puno veća od toplinske de Broglieve valne duljine i molekule se promatraju kao objekti klasične mehanike;
- vrijeme sudara čestica sa stijenkom spremnika je zanemarivo u usporedbi sa vremenom između sudara.
Svojstva
Tlak
Tlak prema kinetičkoj teoriji plinova nastaje udaranjem čestica plina na stijenke spremnika u kojem se nalaze. U spremniku ima N molekula, svaka molekula ima masu m, a spremnik ima obujam V=L3. Kada molekula plina udari okomito u stijenku spremnika, onda količina gibanja koju izgubi molekula, a dobije stijenka spremnika iznosi:
- [math]\displaystyle{ \Delta p = p_{i,x} - p_{f,x} = 2 \cdot m \cdot v_x\, }[/math]
gdje je vx početna brzina čestice x. Čestica udari u stijenku spremnika svakih:
- [math]\displaystyle{ \Delta t = \frac{2 \cdot L}{v_x} }[/math]
gdje je L udaljenost između stijenki spremnika. Sila kojom čestica djeluje na stijenku spremnika je:
- [math]\displaystyle{ F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m \cdot v_x^2}{L}. }[/math]
Ukupna sila na zid stijenke iznosi:
- [math]\displaystyle{ F = \frac{N \cdot m \cdot \overline{v_x^2}}{L} }[/math]
gdje se gornja formula odnosi na prosječan broj N čestica koje udaraju u zid, a pretpostavka prema molekularnom neredu iznosi [math]\displaystyle{ \overline{v_x^2} = \overline{v^2}/3 }[/math], pa se sila može izraziti:
- [math]\displaystyle{ F = \frac{N \cdot m \cdot \overline{v^2}}{3 \cdot L}. }[/math]
ta sila pritišće površinu L2, pa tlak iznosi:
- [math]\displaystyle{ p = \frac{F}{L^2} = \frac{N \cdot m \cdot \overline{v^2}}{3 \cdot V} }[/math]
gdje je V = L3 obujam spremnika. Razlomak n=N/V je gustoća čestica plina (gustoća mase iznosi ρ=n m). Koristeći n, možemo tlak izraziti kao:
- [math]\displaystyle{ p = \frac{n \cdot m \cdot \overline{v^2}}{3} }[/math]
To je prvi značajan rezultat kinetičke teorije plinova, gdje se tlak kao makroskopska pojava objašnjava sa mikroskopskom kinetičkom energijom molekula [math]\displaystyle{ {1 \over 2} m\overline{v^2} }[/math].
Temperatura i kinetička energija
Iz jednadžbe stanja idealnog plina:
[math]\displaystyle{ \displaystyle p \cdot V = N \cdot k_B \cdot T }[/math]
(1)
gdje je kB – Boltzmannova konstanta i T – apsolutna temperatura i iz gornje jednažbe kinetičke teorije plinova za tlak:
[math]\displaystyle{ p = {N \cdot m \cdot v^2\over 3 \cdot V} }[/math] dobivamo [math]\displaystyle{ p \cdot V = {N \cdot m \cdot v_{rms}^2 \over 3} }[/math]
dobivamo [math]\displaystyle{ \displaystyle N \cdot k_B \cdot T = \frac {N \cdot m \cdot v_{rms}^2} {3} }[/math]
onda temperatura T dolazi:
[math]\displaystyle{ \displaystyle T = \frac {m \cdot v_{rms}^2} {3 k_B} }[/math]
(2)
i vodi prema izrazu kinetičke energije molekula:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac {1} {2} mv_{rms}^2 = \frac {3} {2} k_B \cdot T }[/math]
Kinetička energija cijelog sustava je N puta veća:
[math]\displaystyle{ K= \frac {1} {2} N \cdot m \cdot v_{rms}^2 }[/math]
Pa temperatura postaje:
[math]\displaystyle{ \displaystyle T = \frac {2} {3} \cdot \frac {K} {N \cdot k_B}. }[/math]
(3)
To je vrlo važan rezultat kinetičke teorije plinova: prosječna molekularna kinetička energija je proporcionalna apsolutnoj temperaturi. Kombiniranjem možemo dobiti:
[math]\displaystyle{ \displaystyle p \cdot V = \frac {2} {3} K. }[/math]
(4)
To znači da je umnožak tlaka i obujma, po molu plina, proporcionalan sa prosječnom molekularnom kinetičkom energijom.
Sudari sa spremnikom
Za idealni plin, prema kinetičkoj teoriji plinova, može se izračunati broj sudara molekula sa spremnikom, po jedinici vremena i po jedinici površine:
- [math]\displaystyle{ A = \frac{1}{4} \cdot \frac{N}{V} \cdot v_{avg} = \frac{\rho}{4} \sqrt{\frac{8 \cdot k_{B} \cdot T}{\pi \cdot m}} . \, }[/math]
Brzina molekula
Iz kinetičke teorije plinova može se izračunati prosječna brzina molekula:
- [math]\displaystyle{ v_{rms}^2 = \frac{3 \cdot R \cdot T}{\mbox{molarna masa}} }[/math]
gdje je: vrms - prosječna brzina molekula (m/s), T – apsolutna temperatura (K), R – univerzalna plinska konstanta, molarna masa (kg/mol).
Povijest
Začetnik kinetičke teorije plinova je Daniel Bernoulli, koji je 1738. izdao knjigu Hydrodynamica. On je tvrdio da se plinovi sastoje od velikog broja molekula, koje se stalno kreću u svim smjerovima, i da njihovi udarci na stijenke spremnika stvaraju tlak, a da je toplina koju osjećamo ustvari kinetička energija kretanja molekula. Ta teorija u početku nije imala uspjeha, tek nakon zakona o očuvanju energije, postaje opće prihvaćena.
Ostali značajni prestavnici kinetičke teorije plinova su Mihail Lomonosov, Rudolf Clausius, James Maxwell, Ludwig Boltzmann i na kraju Albert Einstein, koji je pokazao da atomi i molekule nisu samo teoretske čestice, nego i da postoje u stvarnosti.
Izvori
- Clausius, R.: "Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen", journal =Annalen der Physik, 1857., [2]
- Einstein, A.: "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen", journal =Annalen der Physik, 1905. [3]
- Herapath, J.: "On the physical properties of gases", journal =Annals of Philosophy, 1816., [4], publisher= Robert Baldwin
- Herapath, J.: "On the Causes, Laws and Phenomena of Heat, Gases, Gravitation", 1821., journal= Annals of Philosophy, [5], publisher=Baldwin, Cradock, and Joy
- Krönig, A.: "Grundzüge einer Theorie der Gase", journal =Annalen der Physik, 1856., [6]
- Le Sage G.-L.: "Physique Mécanique des Georges-Louis Le Sage", 1818., publisher=J.J. Paschoud, [7]
- Lomonosow, M.: "On the Relation of the Amount of Material and Weight", 1758./1970.journal= Mikhail Vasil'evich Lomonosov on the Corpuscular Theory, publisher=Harvard University Press, [8]
- Mahon Basil: "The Man Who Changed Everything – the Life of James Clerk Maxwell", publisher=Wiley, 2003.
- Maxwell James Clerk: "Molecules", journal =Nature, 1873., [9], Scholar search
- Smoluchowski M.: "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen", journal =Annalen der Physik, 1906., [10]
- Waterston John James: "Thoughts on the Mental Functions", 1843.
- Williams M. M. R.: "Mathematical Methods in Particle Transport Theory", Butterworths, London, 1971.
- de Groot S. R., W. A. van Leeuwen and Ch. G. van Weert: "Relativistic Kinetic Theory", North-Holland, Amsterdam, 1980.
- Liboff R. L.: "Kinetic Theory", Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1990.
- Ivo Batistić, Fizički odsjek, PMF, Sveučilište u Zagrebu: "Kinetička teorija plinova" [11]