Krivulje drugog reda
Krivulje drugog reda, konike (prema konus) ili čunjosječnice su algebarske ravninske krivulje drugoga reda nastale presjekom ravnine i kružne dvostruke stožaste plohe. To su kružnica, elipsa, parabola i hiperbola, te njihove degeneracije: par ukrštenih pravaca (ako presječna ravnina prolazi kroz vrh stošca), odnosno par usporednih pravaca (ako se vrh stošca pomakne u beskonačnost). Koja od krivulja će nastati ovisi o kutu koji ravnina zatvara s osi i izvodnicom stošca.
Geometrijski dokaz povezanosti presjeka stošca ravninom s kružnicom, elipsom, hiperbolom i parabolom izveo je francuski matematičar Dandelin sredinom 19. stoljeća. Dokaz se služi tzv. Dandelinovim kuglama.
U pravokutnom Kartezijevu koordinatnom sustavu konike su određene općom jednadžbom:
- [math]\displaystyle{ A \cdot x^2 + B \cdot x \cdot y + C \cdot y^2 + D \cdot x + E \cdot y + F = 0, }[/math]
Na primjer ako je A = C i B = 0, jednadžba opisuje kružnicu.
Konike su određene s 5 točaka. Ako 3 točke konike leže na istom pravcu, konika je degenerirana. Po takvim se krivuljama gibaju nebeska tijela manje mase u gravitacijskome polju nebeskog tijela veće mase. [1]
Uvjet A2 + B 2 +C2 ≠ 0 označava da je lijeva strana polinom drugog stupnja s varijablama x, y.
Svojstva konika:
| konika | normalna jednadžba | numerički ekscentricitet ε | linearni ekscentricitet e |
|---|---|---|---|
| kružnica | [math]\displaystyle{ x^2+y^2=r^2 \, }[/math] | [math]\displaystyle{ 0 \, }[/math] | [math]\displaystyle{ 0 \, }[/math] |
| elipsa | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 }[/math] | [math]\displaystyle{ \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} }[/math] | [math]\displaystyle{ \sqrt{a^2-b^2} }[/math] |
| parabola | [math]\displaystyle{ x^2=4 \cdot a \cdot y \, }[/math] | [math]\displaystyle{ 1 \, }[/math] | - |
| hiperbola | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 }[/math] | [math]\displaystyle{ \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} }[/math] | [math]\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2} }[/math] |
Kružnica
Neka je r > 0 i S točka u ravnini. Kružnica radijusa r sa središtem u S je skup točaka te ravnine od kojih je svaka od njih za r udaljena od S. Ako je u koordinantnom sustavu x0y točka S (x0, y0) onda jednadžba kružnice glasi
(x-x0) 2 + (y -y0) 2 =r 2
Za (x0, y0) = (0,0) imamo kružnicu sa centrom u koordinantnom početku i radijusom r koja glasi
x2 + y 2 = r 2
Jednadžba x2 + y 2 =0 predstavlja točku (0, 0).
Elipsa
Neka je 2a> 0 realan broj ,F1 i F2 različite točke ravnine čija je udaljenost
│F1 F2│ = 2e < 2a.
Elipsa sa žarištima u F1 i F2 je skup točaka ravni sa osobinom da za svaku tačku skupa vrijedi
│F1T│ + │F2 T│= 2 a
Ako točke F1 i F2 leže na x osi sustava x0y i imaju koordinate F1( -e,0) i F2 ( e ,0) jednadžba elipse glasi
b2 x2 + a2 y 2 = a2b 2
Hiperbola
Neka je 2a< 2e realan broj , F1 i F2 različite točke ravnine čija je udaljenost
│F1 F2│= 2e > 2a.
Hiperbola sa žarištima F1 i F2 je skup točaka ravnine sa osobinom da za svaku točku T tog skupa vrijedi
│F1T│ - │F2 T│= 2 a
Za F1 ( -e, 0) i F2 (e , 0) vrijedi
b2 x2- a2 y 2 = a2b 2
Parabola
Neka su u ravnini zadani pravac i točka van tog pravca. Parabola je skup točaka te ravnine od kojih je svaka udaljena od zadanog pravca isto koliko i od zadane točke. Dana točka je žarište, a pravac ravnalica parabole.
Ako je p udaljenost od ravnalice, a žarište je u sustavu x0y i ima koordinate (0, p/2), jednadžba parabole glasi
y2 = 2px