Kvantni lc krug

Pogreška pri izradbi sličice: Spremanje smanjene slike ("thumbnail") na ponuđenu mjesto nije moguće.

Ovaj članak ili dio članka nije pokriven izvorima. Pomozite Wikipediji navođenjem odgovarajućih knjiga, članaka u časopisima ili internetskih stranica.

Pogreška pri izradbi sličice: Spremanje smanjene slike ("thumbnail") na ponuđenu mjesto nije moguće.

Ovaj članak ili odjeljak nije wikipediziran. (Rasprava) Tekst članka treba preurediti u wikitekst. Potom uklonite ovaj predložak.

[math]\displaystyle{ LC }[/math] krug se može kvantizirati primjenom metoda za kvantizaciju harmonijskog oscilatora, jer je [math]\displaystyle{ LC }[/math] krug električni analog običnom harmonijskom oscilatoru. Zapravo, klasični [math]\displaystyle{ LC }[/math] krug je vrsta rezonantnog kruga, a sastoji se od zavojnice (oznaka [math]\displaystyle{ L }[/math]), i kondenzatora (oznaka [math]\displaystyle{ C }[/math]). Kada ih međusobno spojimo, električna struja u krugu oscilira na rezonantnoj frekvenciji:

[math]\displaystyle{ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} }[/math]

gdje je [math]\displaystyle{ L }[/math] induktivitet zavojnice u henrijima, a [math]\displaystyle{ C }[/math] [[Električni kapacitet|kapacitet]] kondenzatora u faradejima. Kružna frekvencija ima jedinice radijan u sekundi: rad/s ili samo 1/s. Kondenzator pohranjuje energiju u svojem električnom polju (npr. za pločasti kondenzator je to električno polje između ploča) koje ovisi o naponu [math]\displaystyle{ V }[/math], što se zapisuje:

[math]\displaystyle{ E_{C}=\frac{1}{2} C V^{2}=\frac{Q^{2}}{2 C} }[/math]

gdje je [math]\displaystyle{ Q }[/math] ukupni naboj na kondenzatoru, a računa se

[math]\displaystyle{ Q(t)=\int_{-\infty}^{t} I(\tau) d \tau }[/math].

Zavojnica pohranjuje energiju u svojem magnetskom polju koje ovisi o jakosti struje [math]\displaystyle{ I }[/math], što zapisujemo:

[math]\displaystyle{ E_{L}=\frac{1}{2} L I^{2}=\frac{\phi^{2}}{2 L} }[/math]

gdje je [math]\displaystyle{ \phi }[/math] magnetski tok (magnetski fluks) definiran kao:

[math]\displaystyle{ \phi(t) \equiv \int_{-\infty}^{t} V(\tau) d \tau }[/math].

Pošto su naboj i magnetski tok kanonski konjugirane varijable, korištenjem kanonske kvantizacije možemo klasični hamiltonijan zapisati u kvantnom formalizmu, zamjenom sa pripadajućim operatorima:

[math]\displaystyle{ \begin{array}{l}{\phi \rightarrow \hat{\phi}} \\ [2mm] {q \rightarrow \hat{q}} \\ [3mm] {H \rightarrow \hat{H}=\frac{\hat{\phi}^{2}}{2 L}+\frac{\hat{q}^{2}}{2 C}}\end{array} }[/math]

te nametanjem kanonski komutacijskih relacija:

[math]\displaystyle{ [\hat{\phi},~\hat{q}] = i \hbar }[/math].