Lema o trozupcu

Pogreška pri izradbi sličice: Spremanje smanjene slike ("thumbnail") na ponuđenu mjesto nije moguće.

Ovaj članak ili dio članka nije pokriven izvorima. Pomozite Wikipediji navođenjem odgovarajućih knjiga, članaka u časopisima ili internetskih stranica.

U geometriji, lema o trozupcu (rus. лемма о трезубце) povezuje trokutu opisanu, upisanu i pripisanu kružnicu.

Lema o trozupcu

Teorem

Neka je ABC trokut. Neka je I središte trokutu upisane kružnice. Neka je D sjecište BI (simetrala kuta ∠ABC) i opisane kružnice trokuta ABC. Lema o trozupcu kaže da je

[math]\displaystyle{ \overline{DA} = \overline{DC} = \overline{DI} = \overline{DE} }[/math]

gdje je E središte trokutu pripisane kružnice koja dira AB, BC i AC.

Dokaz

Kutevi nad istom tetivom:

[math]\displaystyle{ |\angle ABI| = |\angle DCA|, \quad |\angle CBI| = |\angle DAC|. }[/math]

Pošto je BI simetrala kuta:

[math]\displaystyle{ \begin{align} & |\angle DCA| = |\angle DAC| \\[6pt] \Rightarrow {} & |AD| = |CD|, \text{ te } |\angle DIA| = 180^\circ - |\angle AIB| \\[6pt] = {} & 180^\circ - (180^\circ - |\angle IAB| - |\angle IBA|) \\[6pt] = {} & |\angle IAB| + |\angle IBA|= |\angle IAC| + |\angle CAD| \\[6pt] = {} & |\angle IAD| \\[6pt] \Rightarrow {} & |AD| = |DI|. \end{align} }[/math]

Dokažimo još da je DI = DE.

[math]\displaystyle{ |\angle IAE| = |\angle IAC| + |\angle CAE| = \frac{1}{2} |\angle BAC| + \frac{1}{2} (180^\circ - |\angle BAC|) = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ }[/math]

pa je ΔIAE pravokutan. Točka D je jedinstvena koja zadovoljava DA = DI pa mora još DI = DE.