Linearna funkcija
Funkcija je ovisnost među dvjema veličinama koje najčešće označavamo s [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ y, }[/math] a zapisujemo [math]\displaystyle{ y = f(x) }[/math] ili [math]\displaystyle{ y }[/math] je funkcija od [math]\displaystyle{ x. }[/math] Oznaku [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] uveo je Leonhard Euler.
Veličinu [math]\displaystyle{ x }[/math] nazivamo ulazna, a [math]\displaystyle{ y }[/math] izlazna vrijednost. Napomenimo još da funkcija može biti zadana formulom, riječima, tablicom, grafom i dijagramom.
Ovdje ćemo se baviti linearnom funkcijom, tj. funkcijom oblika [math]\displaystyle{ f(x) = y = ax +b }[/math] gdje su [math]\displaystyle{ a \neq 0, b }[/math] realni brojevi. Broj [math]\displaystyle{ a }[/math] naziva se koeficijentom smjera, a broj [math]\displaystyle{ b }[/math] zovemo odsječkom na osi [math]\displaystyle{ y. }[/math]
Ako je [math]\displaystyle{ a \gt 0 }[/math] linearna funkcija raste, a ako je [math]\displaystyle{ a \lt 0 }[/math] funkcija pada. Dokažimo prvi dio tvrdnje. Uzmimo [math]\displaystyle{ x, x + h, h \gt 0. }[/math] Tada je [math]\displaystyle{ a(x + h) + b = ax + b + ah \gt ax + b }[/math] (jer je [math]\displaystyle{ ah \gt 0 }[/math]), tj. [math]\displaystyle{ f(x + h) \gt f(x), }[/math] što je i trebalo pokazati. Analogno se dokazuje za [math]\displaystyle{ a \lt 0. }[/math]
Nagib
Neka su zadane dvije točke u Kartezijevom koordinatnom sustavu, [math]\displaystyle{ A(x_1, y_1), B(x_2, y_2). }[/math] Tada je nagib funkcije na intervalu [math]\displaystyle{ [x_1, x_2] }[/math] određen kvocijentom [math]\displaystyle{ \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{dy}{dx}. }[/math] Kako funkciju gledamo slijeva nadesno, kažemo da vrijednost funkcije na krajnjim točkama toga intervala raste (kod ove funkcije rast/pad je konstantan) ako je nagib pozitivan, a ako je negativan kažemo da pada.
Konstantan nagib najvažnije je svojstvo linearne funkcije. Broj [math]\displaystyle{ a }[/math] naziva se koeficijenom smjera ili nagibom pravca koji je graf linearne funkcije. Posebno, [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx} f(x) = a, }[/math] gdje je [math]\displaystyle{ f(x) = ax + b, \forall a, b \in \mathbb{R}. }[/math]
Dokažimo da je njezin nagib konstantan, tj. da je njezin graf pravac.
Pretpostavimo da imamo f-ju [math]\displaystyle{ y = ax. }[/math] Onda imamo točke [math]\displaystyle{ A(x_1, ax_1), B(x_2, ax_2) }[/math] (uz [math]\displaystyle{ x_1 \neq x_2 }[/math]). Tada je nagib na intervalu [math]\displaystyle{ [x_1, x_2] }[/math] jednak [math]\displaystyle{ \frac{a(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} \equiv a }[/math] i tvrdnja je dokazana.
Isto tako je funkcija [math]\displaystyle{ y = ax + b }[/math] pravac. Ako je [math]\displaystyle{ b \gt 0 }[/math] graf se uzdiže za [math]\displaystyle{ b }[/math] jediničnih vektora (jer je [math]\displaystyle{ y' = y + b }[/math]), a ako je [math]\displaystyle{ b \lt 0 }[/math] graf se spušta za [math]\displaystyle{ b }[/math] jediničnih vektora (jer je [math]\displaystyle{ y' = y - b). }[/math]
Slično, ako je [math]\displaystyle{ y = a(x - x_0) + b }[/math] cijeli se graf pomiče za [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] udesno ako je [math]\displaystyle{ x_0 \gt 0 }[/math]), a ulijevo za [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ako je [math]\displaystyle{ x_0 \lt 0. }[/math]
Gornje se tvrdnje mogu dokazati i transformacijama koordinatnih osi.
Paralelnost i okomitost pravaca
Paralenost. Neka imamo [math]\displaystyle{ y = a_1x, y = a_2x. }[/math] Očito je da su ta dva pravca jednaka ako i samo ako je [math]\displaystyle{ a_1 = a_2. }[/math] Analogno za bilo koju linearnu funkciju (zbog gore navedenih transformacija). Dakle, grafovi dviju funkcija [math]\displaystyle{ y = a_1x + b_1, y = a_2x + b_2 }[/math] su pravci koji su paralelni ako i samo ako vrijedi [math]\displaystyle{ a_1 = a_2. }[/math]
Okomitost. Pretpostavimo da su pravci [math]\displaystyle{ y = a_1x, y = a_2x }[/math]. Uočimo pravokutni trokut dan vrhovima [math]\displaystyle{ (0, 0), (x, 0), (x, a_1x). }[/math] I sada, rotiranjem svih ([math]\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{R} }[/math]) takvih trokuta za [math]\displaystyle{ 90^\circ }[/math] dobili smo ovaj drugi pravac. Dakle, vrijedi [math]\displaystyle{ a_2 = - \frac{1}{a_1}. }[/math] Opet, zbog gornjih transformacija, dva su pravca okomita ako i samo ako je [math]\displaystyle{ a_1 \cdot a_2 = - 1. }[/math]
Napomenimo da je veza među transformacija grafa te paralelnosti i okomitosti pravaca sljedeća: vrijedi [math]\displaystyle{ p \parallel q }[/math] ako i samo je [math]\displaystyle{ p' \parallel q' }[/math] gdje su [math]\displaystyle{ p', q' }[/math] pravci dobiveni redom translacijom pravaca [math]\displaystyle{ p, q. }[/math] Analogno za [math]\displaystyle{ p \perp q. }[/math]
Kut između dvaju pravaca
Lako se dokaže da za kut [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] između neka dva pravca [math]\displaystyle{ p_1, p_2 }[/math] vrijedi [math]\displaystyle{ \tan{\varphi} = |\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 \cdot k_2}|, }[/math] gdje su redom [math]\displaystyle{ k_1, k_2 }[/math] nagibi pravaca [math]\displaystyle{ p_1, p_2. }[/math]
Zadanost i jednadžba pravca kroz dvije točke
Linearna funkcija može biti zadana parametrima [math]\displaystyle{ a, b, }[/math] nagibom i nekom točkom ili dvjema točkama.
Pretpostavimo opet da imamo pravac [math]\displaystyle{ y = ax + b }[/math] i dvije točke za koje je [math]\displaystyle{ y_1 = ax_1 + b, y_2 = ax_2 + b. }[/math] Oduzimanjem druge jednadžbe od prve dobivamo [math]\displaystyle{ y - y_1 = a(x - x_1), }[/math] što pišemo kao [math]\displaystyle{ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1). }[/math][1]
Eksplicitni i implicitni oblik
Valja spomenuti da jednadžba pravca može biti zadana u eksplicitnom ili implicitnom obliku. Prvi oblik je bilo koja jednadžba oblika [math]\displaystyle{ Ay + Bx + C = 0, }[/math] a drugi općenito jednadžba [math]\displaystyle{ y= - \frac{B}{A}x - \frac{C}{A}. }[/math]
Segmenti oblik jednadžbe pravca
Jednadžbu pravca možemo zapisati u ovome obliku: [math]\displaystyle{ \frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1, m, n \in \mathbb{R}. }[/math] Ovaj se oblik jednadžbe pravca naziva segmentnim jer za [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] dobivamo odsječak (segment) na osi [math]\displaystyle{ y }[/math] i obrnuto. Zbog toga je površina ispod ili iznad grafa pravca omeđena koordinatnim osima jednaka [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}|mn|. }[/math][2]
Nultočka linearne funkcije
Općenito, nultočka je svaka vrijednost neovisne varijable [math]\displaystyle{ x }[/math] za koju je [math]\displaystyle{ f(x) = 0. }[/math]
Dakle, nultočka linearne funkcije jednaka je [math]\displaystyle{ ax + b = 0 \iff x = - \frac{b}{a}. }[/math]