Rapiditet

Rapiditet je veličina srodna brzini koja se koristi u fizici u teoriji relativnosti. Matematički se može definirati kao hiperbolni kut između dva referentna sustava koji se gibaju jedan u odnosu na drugi.

Prednost korištenja rapiditeta u odnosu na brzinu pri relativističkim brzinama je činjenica da je rapiditet aditivan pri gibanju u jednoj dimenziji. Drugim riječima, ako se neki objekt jednoliko giba brzinom v₁ i rapiditetom y₁ u odnosu na promatrača A, a dotični promatrač se giba u istom smjeru brzinom v₂ i rapiditetom y₂ u odnosu na promatrača B, tada kretanje objekta u odnosu na promatrača B možemo rapiditetima jednostavno opisati kao

[math]\displaystyle{ y = y_1 + y_2 , }[/math]

dok za brzinu vrijedi kompliciranija jednakost

[math]\displaystyle{ v = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}} . }[/math]

U odnosu na brzinu, rapiditet se definira kao

[math]\displaystyle{ y = \operatorname{Arth} \frac{v}{c} , }[/math]

gdje je v brzina kretanja, c brzina svjetlosti, a Arth označava funkciju area tangens hiperbolni (inverz tangensa hiperbolnog).

Pri malim brzinama, rapiditet je proporcionalan brzini; [math]\displaystyle{ y \approx v/c }[/math]. No kako se brzina približava brzini svjetlosti, rapiditet brže raste i teži u beskonačnost. U teoriji relativnosti za sve moguće brzine masenih čestica vrijedi [math]\displaystyle{ -c \lt v \lt c }[/math] odnosno [math]\displaystyle{ -1 \lt v/c \lt 1 }[/math]. Kako je domena area tangensa hiperbolnog interval [math]\displaystyle{ \langle -1, 1 \rangle }[/math], a slika svi realni brojevi, tako se i interval [math]\displaystyle{ -c \lt v \lt c }[/math] preslikava u [math]\displaystyle{ -\infty \lt y \lt \infty }[/math].

Povijest

Hermann Minkowski je 1908. primijetio da se Lorentzova transformacija može opisati kao hiperbolna rotacija (rotacija za imaginarni kut) u prostorvremenskim koordinatama. Time dobivamo veličinu koja se može zbrajati u okviru teorije relativnosti na isti jednostavan način kao što se zbrajaju brzine u klasičnoj mehanici. Opis kuta pomoću rapiditeta dali su 1910. Vladimir Varićak i E. T. Whittaker, a naziv je rapiditetu sljedeće godine nadjenuo Alfred Robb.

Rapiditet u jednoj prostornoj dimenziji

Lorentzova transformacija može se prikazati kao matrični produkt uz pomoć rapiditeta

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} c t' \\ x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \operatorname{ch} y & -\operatorname{sh} y \\ -\operatorname{sh} y & \operatorname{ch} y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct \\ x \end{bmatrix} = \mathbf \Lambda (y) \begin{bmatrix} ct \\ x \end{bmatrix} }[/math].

Lako se pokaže da vrijedi [math]\displaystyle{ \mathbf{\Lambda}(y_1 + y_2) = \mathbf{\Lambda}(y_1)\mathbf{\Lambda}(y_2) }[/math], iz čega proizlazi svojstvo aditivnosti rapiditeta. Neka su A, B i C referentni sustavi, a y_XY označava rapiditet kretanja referentnog sustava X u odnosu na Y; tada vrijedi

[math]\displaystyle{ y_\text{AC} = y_\text{AB} + y_\text{BC} }[/math].

Lorentzov faktor γ također se može prikazati kao kosinus hiperbolni od rapiditeta:

[math]\displaystyle{ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}} = \operatorname{ch} y . }[/math]

Odnos relativističnog Dopplerovog efekta i rapiditeta je:

[math]\displaystyle{ z = e^y . }[/math]

U četverodimenzionalnom prostorvremenu

Neka je brzina objekta [math]\displaystyle{ \mathbf{v} = \boldsymbol{\beta} c }[/math]. Rapiditet se tada opisuje kao vektor [math]\displaystyle{ \mathbf{y} = \boldsymbol{\hat{\beta}} \operatorname{Arth}\beta }[/math], gdje je [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\hat{\beta}} }[/math] jedinični vektor u smjeru vektora [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\beta} }[/math].

Zbroj rapiditeta y₁ i y₂ razdvojenih kutem α može se izraziti kao:

[math]\displaystyle{ \operatorname{ch} y = \operatorname{ch} y_1 \operatorname{ch} y_2 + \operatorname{sh} y_1 \operatorname{sh} y_2 \cos \alpha. }[/math]

U fizici elementarnih čestica

Energija E i količina gibanja p masene čestice su:

[math]\displaystyle{ E = \gamma m c^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ p = \gamma m v. }[/math]

Koristeći definiciju rapiditeta y = Arth v/c možemo izvesti:

[math]\displaystyle{ \operatorname{ch} y = \operatorname{ch}\left(\operatorname{Arth}\frac{v}{c}\right) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v}{c}}} = \gamma }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{sh} y = \operatorname{sh}\left(\operatorname{Arth}\frac{v}{c}\right) = \frac{\frac{v}{c}}{\sqrt{1-\frac{v}{c}}} = \beta\gamma, }[/math]

što možemo uvrstiti u prijašnje formule da energiju i količinu gibanja izrazimo pomoću rapiditeta:

[math]\displaystyle{ E = m c^2 \operatorname{ch} y }[/math]

[math]\displaystyle{ p = m c \operatorname{sh} y. }[/math]

Obratno, vrijedi i

[math]\displaystyle{ y = \operatorname{Arth} \frac{pc}{E} = \frac{1}{2} \ln \frac{E+pc}{E-pc} = \ln \frac{E+pc}{mc^2}. }[/math]

U eksperimentalnoj fizici elementarnih čestica koristi se promijenjena definicija rapiditeta, u odnosu na z-os, koja je os kojom se gibaju čestice ubrzane u eksperimentu:

[math]\displaystyle{ y_z = \frac{1}{2}\ln\frac{E+p_z c}{E-p_z c}. }[/math]

To je rapiditet Lorentzove transformacije između referentnog sustava laboratorija i sustava u kojem se čestica kreće okomito na z-os.

Pri proučavanju sudara čestice fizičari obično koriste pseudorapiditet, koji se ovdje lakše mjeri nego rapiditet, a i dobra je aproksimacija pri relativističkim brzinama, jer teži k rapiditetu kako se brzina približava c:

[math]\displaystyle{ \eta = -\ln\operatorname{tg}\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}\ln\frac{p+p_L}{p-p_L}, }[/math]

gdje je θ kut između smjera kretanja izlazne čestice i osi sudara.