Realni broj

Pogreška pri izradbi sličice: Spremanje smanjene slike ("thumbnail") na ponuđenu mjesto nije moguće.

Odnos skupova brojeva

Skup realnih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] je unija skupa racionalnih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] i skupa iracionalnih brojeva.

Računske operacije na skupu [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] su definirane kao i za ostale skupove [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] , [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math], tj. za realne brojeve vrijede svojstva komutativnosti i asocijativnosti zbrajanja i množenja, te distributivnosti množenja prema zbrajanju.

Skup [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] je gust, odnosno između svaka dva različita realna broja postoji beskonačno realnih brojeva.
Skup [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] je neprebrojiv.
Elementi skupa [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] prekrivaju čitav brojevni pravac.

Skup realnih brojeva, zajedno s operacijama zbrajanja i množenja, primjer je polja.

Osnovna svojstva zbrajanja i množenja realnih brojeva

Za polje realnih brojeva vrijedi:^[1]^{:str. 17.}

(R1) [math]\displaystyle{ a + b \in \mathbb{R}, \forall a, b \in \mathbb{R} }[/math] (zatvorenost zbrajanja)

(R2) [math]\displaystyle{ (a + b) + c = a + (b + c), \forall a, b, c \in \mathbb{R} }[/math] (asocijativnost zbrajanja)

(R3) [math]\displaystyle{ a + 0 = a, \forall a \in \mathbb{R} }[/math] (neutralnost nule pri zbrajanju)

(R4) [math]\displaystyle{ (\forall a \in \mathbb{R})(\exist -a \in \mathbb{R})(a + (-a) = 0) }[/math] (postojanje suprotnog broja)

(R5) [math]\displaystyle{ a + b = b + a, \forall a, b \in \mathbb{R} }[/math] (komutativnost zbrajanja)

(R6) [math]\displaystyle{ ab \in \mathbb{R}, \forall a, b \in \mathbb{R} }[/math] (zatvorenost množenja)

(R7) [math]\displaystyle{ (ab)c = a(bc), \forall a, b, c \in \mathbb{R} }[/math] (asocijativnost množenja)

(R8) [math]\displaystyle{ a \cdot 1 = a, \forall a \in \mathbb{R} }[/math] (neutralnost jedinice pri množenju)

(R9) [math]\displaystyle{ (\forall 0 \neq a \in \mathbb{R})(\exist a^{-1} \in \mathbb{R})(aa^{-1} = 1) }[/math] (postojanje inverznog broja)

(R10) [math]\displaystyle{ ab = ba, \forall a, b \in \mathbb{R} }[/math] (komutativnost množenja)

(R11) [math]\displaystyle{ a(b + c) = ab + ac, \forall a, b, c \in \mathbb{R} }[/math] (distributivnost množenja prema zbrajanju slijeva)

(R11)' [math]\displaystyle{ (a + b)c = ac + bc, \forall a, b, c \in \mathbb{R} }[/math] (distributivnost množenja prema zbrajanju zdesna)

Uređaj u skupu realnih brojeva

Realni broj [math]\displaystyle{ a }[/math] manji je od realnog broja [math]\displaystyle{ b }[/math] ako postoji pozitivan realni broj [math]\displaystyle{ p }[/math] takav da je [math]\displaystyle{ a + p = b }[/math]. Uređaj ima sljedeća svojstva:^[1]^{:str. 61.}

tranzitivnost uređaja: [math]\displaystyle{ a \lt b \land b \lt c \implies a \lt c }[/math]
odnos uređaja prema zbrajanju: [math]\displaystyle{ a \lt b \implies a + x \lt b + x, \forall x \in \mathbb{R} }[/math]
odnos uređaja prema množenju: [math]\displaystyle{ a \lt b \implies ax \lt bx, \forall x \gt 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ a \lt b \implies ax \gt bx, \forall x \lt 0 }[/math]

Izvori

↑ ^1,0 ^1,1 Jasenka Đurović, Ivo Đurović, Sanja Rukavina: Matematika 1 (udžbenik za I. razred gimnazije), Element, Zagreb, 1996.

Pogreška pri izradbi sličice: Spremanje smanjene slike ("thumbnail") na ponuđenu mjesto nije moguće.

Nedovršeni članak Realni broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.

[M1-1] 1,0 ^1,1 Jasenka Đurović, Ivo Đurović, Sanja Rukavina: Matematika 1 (udžbenik za I. razred gimnazije), Element, Zagreb, 1996.

[1]