Vivianijev teorem
Vivianijev teorem je rezultat u euklidskoj geometriji kojega je početkom 18. stoljeća dokazao talijanski matematičar Vincenzo Viviani.
Teorem tvrdi da je za bilo koju izabranu točku [math]\displaystyle{ T }[/math] unutar jednakostraničnog trokuta [math]\displaystyle{ ABC }[/math] zbroj udaljenosti točke [math]\displaystyle{ T }[/math] od stranica [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] trokuta [math]\displaystyle{ ABC }[/math] jednak visini tog trokuta.[1]
Dokaz preko površina
Neka su [math]\displaystyle{ T_a, T_b }[/math] i [math]\displaystyle{ T_c }[/math] nožišta okomica iz točke [math]\displaystyle{ T }[/math] na stranice [math]\displaystyle{ BC, CA }[/math] i [math]\displaystyle{ AB }[/math] trokuta [math]\displaystyle{ ABC }[/math], a [math]\displaystyle{ v }[/math] visina trokuta [math]\displaystyle{ ABC }[/math]. Prikažimo površinu trokuta [math]\displaystyle{ ABC }[/math] pomoću zbroja površina tri trokuta [math]\displaystyle{ P_{\triangle ABC} = P_{\triangle TBC} + P_{\triangle TCA} + P_{\triangle TAB} }[/math].
[math]\displaystyle{ \frac{av}{2} = \frac{a \cdot|TT_a|}{2} + \frac{a \cdot |TT_b|}{2} + \frac{a \cdot |TT_c|}{2}. }[/math]
Odovuda slijedi [math]\displaystyle{ |TT_a|+ |TT_b|+ |TT_c| = v. }[/math]
Zanimljivosti
Zanimljivo je da se Vivianijev teorem može poopćiti i na pravilne mnogokute.
Naime, vrijedi da je zbroj udaljenosti bilo koje točke [math]\displaystyle{ T }[/math] pravilnog n-terokuta do njegovih stranica neovisan o položaju točke [math]\displaystyle{ T }[/math].
Dokaz. Ako su stranice pravilnog n-terokuta duljine [math]\displaystyle{ a }[/math], a udaljenosti od točke [math]\displaystyle{ T }[/math] do stranica tog n-terokuta [math]\displaystyle{ v_1, v_2, ... , v_n }[/math], tada je površina poligona jednaka [math]\displaystyle{ P = \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}av_i }[/math], dakle vrijedi [math]\displaystyle{ v_1 + v_2 + ... + v_n = \frac{2P}{a}. }[/math]
Može se dokazati da generalizacija Vivianijeva teorema vrijedi i za poligone kojima su svi unutarnji kutovi sukladni, tj. za tzv. ekviangularne poligone.
