Vidi kôd stranice Električna admitancija

<!--'''Električna admitancija'''-->{{Elektromagnetizam|cTopic=[[Električna mreža]]}}
[[Električni otpor]] je definiran kao mjera suprostavljanja prolasku istosmjerne [[električna struja|električne struje]] kroz strujni krug, dok je [[električna vodljivost]] opisana kao veličina recipročna električkom otporu. Električna impedancija je definirana kao mjera suprostavljanja prolasku [[izmjenična električna struja|izmjenične struje]] kroz strujni krug (u daljnjem tekstu skrećeni nazivi: otpor, struja, impedancija, vodljivost, napon, strujni krug i sl.) i također ima svoju recipročnu «vodljivost» za izmjeničnu struju koja se naziva admitancija.

=='''Definicija'''==
Odnosi struje, [[Električni napon|napona]] i otpora u istosmjernim strujnim krugovima definirani su [[Ohmov zakon|Ohmovim zakonom]] gdje je otpor nekog elementa određen omjerom pada napona na njemu i struje koja prolazi kroz njega te uzrokuje taj pad napona:

:<math> R = \frac{U}{I}</math>

Kako je vodljivost recipročna otporu vrijedi da je

:<math> G=   \frac{1}{R} = \frac{I}{U} </math>

Za razliku od otpora koji izražavamo u <math> \Omega\, </math> (Ohmima), vodljivost izražavamo u <math> S\, </math> (Simensima). Kako bi se naglasila reaktivna komponenta impedancije, impedanciju i reaktanciju ne izražavamo u <math> \Omega\, </math>, već u V/A (voltima/amperu), a admitanciju A/V (amperima/voltu) gdje tada možemo govoriti i o svojevrstnom Ohmovom zakonu za izmjeničnu struju:

:<math> Z( j\omega\,) = \frac{U( j\omega\,)}{I( j\omega\,)}</math>

odnosno

:<math> Y( j\omega\,) = \frac{I( j\omega\,)}{U( j\omega\,)}</math>

gdje su '''''U''''' i '''''I'''''  napon, odn. struja u kompleksnoj ravnini,  '''''Z'''''  impedancija, a '''''Y''''' admitancija.

Impedancija i admitancija idealnog otpora jednake su otporu, odn. vodljivosti za istosmjernu struju, tj.

:<math>Z_R = R \,</math>

:<math>Y_R = G \,</math>

Zavojnici se u kompleksnom području dodjeljuje impedancija jednaka reaktanciji induktiviteta

:<math>{Z_L} = X_L = j\omega\,L </math>

i odgovarajuća «reaktivna vodljivost» ili susceptancija

:<math>{Y_L} = B_L = \frac{1}{j\omega L} </math>

Kondenzatoru se u kompleksnom području dodjeljuje impedancija jednaka reaktanciji kapaciteta

:<math>{Z_C} = X_C = \frac{1}{j\omega C} </math>

i odgovarajuća «reaktivna vodljivost» ili susceptancija

:<math>{Y_C} = B_C = j\omega\,C </math>

=='''Prikaz admitancije'''==

Admitancija se nalik impedanciji i, općenito, svakoj kompleksnoj veličini može prikazati u kompleksnoj ravnini na tri različita, no međusobno čvrsto povezana načina. Prikazati je možemo u kartezijanskim koordinatama, trigonometrijskom obliku ili u eksponencijalnom obliku. Svaki od prikaza ima svoje prednosti i nedostatke, no prijelaz iz jednog u drugi oblik je elementaran i sukladan svojstvima kompleksnih brojeva.

==='''Prikaz admitancije u kartezijanskim koordinatama'''===

Prikaz u kartezijanskim koordinatama je, na izvjestan način, najjednostavniji tako da paralelni spoj otpora i kapaciteta ima zajedničku admitanciju

:<math>{Y} = \frac{1}{R}+ j\omega\,C  </math>

dok je admitancija paralelnog spoja otpora R  i induktiviteta L jednaka

:<math>{Y} =  \frac{1}{R}+ \frac{1}{j\omega L}</math>

Prikaz u kartezijanskim koordinatama praktičan je kada treba naći rezultantnu admitanciju paralelnog spoja više admitancija te je općenito

:<math> Y = Y_1 + Y_2 + ... + Y_n = (G_1 + G_2 + ... + G_n) + (B_1 + B_2 + ... + B_n)= G + B \, </math>

gdje se sukladno računu u kompleksnom području odvojeno zbrajaju realni dijelovi svih admitancija te čine realni dio '''''G''''' rezultantne impedancije '''''Y''''', dok suma imaginarnih dijelova svih susceptancija čini imaginarni dio '''''B'''''  rezultantne admitancije '''''Y'''''.

==='''Prikaz admitancije u trigonometrijskom obliku'''===

Admitancija se, kao i svaki kompleksni broj, može prikazati i u [[trigonometrija|trigonometrijskom]] obliku. Impedancija prikazana u kartezijanskim koordinatama kao

:<math>{Y} = {G} + {B}\, </math>

određuje modul trigonometrijskog prikaza kao

:<math>|{Y}| = \sqrt{{Y}{Y}^*} = \sqrt{G^2 + (B)^2}</math>

te argument trigonometrijskog prikaza kao

:<math>\varphi = \arctan{\left(\frac{B}{G}\right)}</math>

odakle slijedi i trigonometrijski oblik određen izrazom

:<math>{Y} = |{Y}|(cos \varphi\, \pm jsin \varphi\,) </math>

gdje je predznak u trigonometrijskom prikazu određen predznakom funkcije  <math> \arctan\, </math>.

Trigonometrijski oblik prikazuje neposredno apsolutnu veličinu admitancije te predznak njezina argumenta iz kojeg se vidi da li je admitancija induktivnog (<math>sin\varphi</math> <0) ili kapacitivnog karaktera (<math>sin \varphi </math> >0). Ukoliko, međutim, treba podijeliti ili pomnožiti kompleksne veličine, tada je daleko praktičniji eksponencijalni prikaz  u polarnim koordinatama.

==='''Prikaz admitancije u polarnim koordinatama'''===

Admitancija prikazana [[eksponencijalna funkcija|eksponencijalnom funkcijom]] u [[polarne koordinate|polarnim koordinatama]] također neposredno prikazuje apsolutnu veličinu admitancije, ali neposredno prikazuje i njezin argument. Prijelaz iz trigonometrijskog oblika u eksponencijalni oblik impedancije izvediv je na temelju Eulerove formule koja ustanovljava sljedeću vezu

:<math>{Y} = |{Y}|(cos \varphi\,+ jsin \varphi\,) = |{Y}|e^{j\varphi\,} </math>

Eksponencijalnom funkcijom u polarnim koordinatama mogu se prikazati i fazori napona i struje tako da je ovaj način vrlo prikladan kada je potrebno iz odnosa struje i napona izračunati admitanciju, iz odnosa struje i admitancije pad napona ili iz umnoška napona i admitancije izračunati struju koja teče kroz admitanciju.

==='''Izračunavanje admitancije'''===

Neka je zadan izmjenični električni izvor napona '''''U''''' tako da je

:<math>{U} = |{U}|e^{j\varphi\,_1} </math>

i struja '''''I''''' kroz nepoznatu impedanciju '''''Y''''' tako da je

:<math>{I} = |{I}|e^{j\varphi\,_2} </math>

Kako je admitancija određena omjerom struje i napona, slijedi da je

:<math>{Y} = \frac{|{I}|e^{j\varphi\,_2}}{|{U}|e^{j\varphi\,_1}} = \frac{|{I}|}{|{U}|}e^{j(\varphi\,_2-\varphi\,_1)} </math>

iz čega je lako zaključiti o modulu i argumentu nepoznate admitancije. Inverznim prelaskom najprije u trigonometrijski, a nakon toga u kartezijanski oblik prikaza impedancije jednostavno se može zaključiti o veličini vodljivosti te karakteru i veličini susceptancije.

==='''Pretvaranje impedancije u admitanciju'''===

Pri analizi imalo složenijih strujnih krugova redovito se ukazuje potreba da u cilju pojednostavljenja strujnog kruga, odn. nalaženja nadomjestne impedancije cjelokupnog strujnog kruga, pretvaramo impedancije u admitancije i reverznim postupkom pretvaramo admitancije u impedancije, pojednostavljujući korak po korak složeniji strujni krug u jednostavniji. To u osnovi možemo učiniti prikazujući impedancije i admitancije u kartezijanskim ili polarnim koordinatama.

===='''Pretvaranje impedancije u admitanciju u kartezijanskim koordinatama'''====

Impedancija se u kartezijanskim koordinatama prikazuje kompleksnim brojem oblika
 
:<math>{Z} = {R} + {X} \, </math>

gdje reaktancija može biti pozitivna (induktivni karakter reaktancije) ili negativna (kapacitivni karakter reaktancije). Pri pretvorbi impedancije u admitanciju koristi se konjugirano-kompleksna vrijednost impedancije prema predlošku

:<math> {Y} = \frac{1}{Z} = \frac{1}{Z} \frac{Z^*}{Z^*} = \frac{R}{|{Z}|^2} \pm\ \frac{X}{|{Z}|^2}  </math>

gdje je predznak imaginarnog dijela konjugirano-kompleksne vrijednosti suprotan predznaku imaginarnog dijela impedancije.

'''Primjer:'''

Neka je zadana kapacitivna impedancija veličine

:<math>{Z} = {6} -j{8} \, </math>

Njezina odgovarajuća admitancija nalazi se prema gore navedenom predlošku kao

:<math> {Y} = \frac{1}{Z} = \frac{1}{6-j8} \frac{6+j8}{6+j8} = \frac{6}{100} + \frac{j8}{100}= 0,06 + j0,08</math>

Sličnim postupkom može se admitancija pretvoriti natrag u impedanciju.

===='''Pretvaranje impedancije u admitanciju u polarnim koordinatama'''====

Prikaz impedancije u polarnim koordinatama u obliku eksponencijalne funkcije izrazito je prikladan za pretvaranje u admitanciju. Prikažemo li impedanciju u skladu s time kao

:<math>{Z} =  |{Z}|e^{j\varphi\,} </math>

Njezina odgovarajuća admitancija nalazi se prema predlošku

:<math>{Y} =  \frac{1}{Z}= \frac{1}{|{Z}|e^{j\varphi\,}} = \frac{1}{|{Z}|} e^{-j\varphi\,}</math>

'''Primjer:'''

Prikažemo li impedanciju '''''Z''''' = 6 – j8 iz ranije navedenog primjera u polarnim koordinatama u eksponencijalnom obliku kao

:<math>{Z} =  {10}e^{-j53,13^0 }</math>

Njezina odgovarajuća admitancija iznosi

:<math>{Y} = \frac{1}{Z} = \frac{1}{{10}e^{-j53,13^0}} = {0,1}e^{+j53,13^0}= 0,06 + j0,08 </math>

Sličnim postupkom može se u polarnim koordinatama admitancija pretvoriti natrag u impedanciju.

==='''Zaključak'''===

Prilikom pretvaranja impedancije u admitanciju mijenja se reaktivni karakter kompleksne veličine te se kapacitivna impedancija pretvara u induktivnu admitanciju i obratno, induktivna impedancija se pretvara u kapacitivnu admitanciju. Pri tome je apsolutna vrijednost ili modul admitancije jednak recipročnoj vrijednosti apsolutne vrijednosti, odn. modula impedancije. Reverzna pretvorbe admitancije u impedanciju izvodi se na odgovarajuće isti način.

=='''Primjena'''==

Analize svojstava električnih strujnih krugova i mreža bile bi nezamislive bez pojmova kao što su električna impedancija, admitancija ili reaktancija definiranih u području kompleksnih brojeva. Premda se u analizama mreža i strujnih krugova daleko češće računa s impedancijama, računanje s admitancijama je nezaobilazno tamo gdje se nalazi više paralelno spojenih grana i gdje je potrebno izračunati rezultantnu impedanciju nadomjestnog strujnog kruga ili pojedinih njegovih dijelova.

Prilikom  analiza mreža i četveropola mogu se primijeniti svi poučci i metode koje vrijede za istosmjerne struje  kao što su [[Theveninov poučak]], [[Nortonov poučak]], [[Metoda superpozicije]] te metode temeljene na [[Kirchhoffovi zakoni o struji i naponu|Kirchhoffovim zakonima]] ([[Metoda konturnih struja]], [[Metoda čvorova]]) uz poštivanje izračuna u području kompleksnih brojeva.

==Literatura==
# Oliver Heaviside, The Electrician, p.&nbsp;212, 23rd July 1886 reprinted as Electrical Papers, p64, AMS Bookstore, {{ISBN|0821834657}}
# Kennelly, Arthur. Impedance (IEEE, 1893)
# Horowitz, Paul; Hill, Winfield (1989). "1". The Art of Electronics. Cambridge University Press. pp.&nbsp;32–33. {{ISBN|0-521-37095-7}}. 
# Horowitz, Paul; Hill, Winfield (1989). "1". The Art of Electronics. Cambridge University Press. pp.&nbsp;31–32. {{ISBN|0-521-37095-7}}.

[[Kategorija:Elektrotehnika]]