WikiSysop: bnz

2022-04-28T10:28:45Z

bnz

←Starija inačica		Inačica od 10:28, 28. travnja 2022.
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Binetova formula'''-->~~'''Binetova formula''' je izraz za računanje <math>n</math>-tog [[Fibonaccijev broj\|Fibonaccijevog broja]] kojeg označavamo s <math>F_n</math>, počevši od <math> F_1 = 1. </math>		'''Binetova formula''' je izraz za računanje <math>n</math>-tog [[Fibonaccijev broj\|Fibonaccijevog broja]] kojeg označavamo s <math>F_n</math>, počevši od <math> F_1 = 1. </math>

	Formula je nazvana po [[Francuska\|francuskom]] [[Matematika\|matematičaru]] Jacquesu Philippeu Binetu, iako je poznato da je za nju, stoljeće prije njega, znao [[Abraham de Moivre]].		Formula je nazvana po [[Francuska\|francuskom]] [[Matematika\|matematičaru]] Jacquesu Philippeu Binetu, iako je poznato da je za nju, stoljeće prije njega, znao [[Abraham de Moivre]].

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-12-11T08:40:17Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

'''Binetova formula''' je izraz za računanje <math>n</math>-tog [[Fibonaccijev broj|Fibonaccijevog broja]] kojeg označavamo s <math>F_n</math>, počevši od <math> F_1 = 1. </math>

Formula je nazvana po [[Francuska|francuskom]] [[Matematika|matematičaru]] Jacquesu Philippeu Binetu, iako je poznato da je za nju, stoljeće prije njega, znao [[Abraham de Moivre]].

Ako s <math> \alpha, \beta </math> označimo <math>\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, </math> tada formula glasi <math> F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}({\alpha}^n - {\beta}^n). </math><ref>Andrej Dujella, Teorija brojeva, Školska knjiga, 2019.</ref>

Uočimo da su <math> \alpha, \beta </math> oba rješenja ''zlatne jednadžbe'' <math> x^2 = x + 1. </math> Dokaz Binetove formule će zbog toga biti skriven upravo u toj [[Jednadžba|jednadžbi]].

[[Kategorija: Matematika]]

== Dokaz ==
Binetovu formulu ćemo dokazati metodom [[Aksiom matematičke indukcije|matematičke indukcije]].

Uočimo što ćemo dobiti uzastopnim množenjem ''zlatne jednadžbe'' s <math> x </math>:
<math> x^2 = x + 1 </math>

<math> x^3 = 2x + 1, </math>

<math> x^4 = 3x + 2, </math>

<math> x^5 = 5x + 3, ... </math>

Uočavamo da su koeficijenti uz <math> x </math> i <math> 1 </math> uzastopni Fibonaccijevi brojevi pa naslućujemo da vrijedi
<math>x^n = F_nx + F_{n - 1}</math> uz dodatak <math> F_0 = 0. </math> Gore smo pokazali da tvrdnja vrijedi za <math> n \leq 5. </math>

Pretpostavimo sada da tvrdnja vrijedi za neki <math> k \in \mathbb{N}, </math> tj. da je
<math> x^k = F_kx + F_{k - 1}. </math>

Iz pretpostavke slijedi <math> x^{k + 1} = x \cdot x^k = x(F_kx + F_{k - 1}) </math> što daje <math> F_kx^2 + F_{k - 1}x. </math>

Sada iz temeljne jednakosti <math> x^2 = x + 1 </math> zamjenom slijedi <math> x^{k + 1} = F_k(x + 1) + F_{k - 1}x, </math> iz čega je
<math> x^{k + 1} = F_kx + F_k + F_{k - 1}x, </math> odnosno <math> x^{k + 1} = F_{k + 1}x + F_k, </math> što je i trebalo dokazati.

Znamo da su <math> \alpha, \beta </math> rješenja jednadžbe <math> x^2 = x + 1, </math> pa također zadovoljavaju i jednakosti <math> x^n = F_nx + F_{n - 1}. </math> Zato možemo pisati <math>\alpha^n = F_n\alpha + F_{n - 1}, \beta^n = F_n\beta + F_{n - 1}. </math>

Oduzimanjem ove dvije jednadžbe slijedi <math> \alpha^n - \beta^n = F_n(\alpha - \beta), </math> a kako je <math> \alpha - \beta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}, </math> konačno dobivamo <math> F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}({\alpha}^n - {\beta}^n). </math><ref>https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Binet%27s_Formula</ref>

==Izvori==
{{izvori}}

[[Kategorija:Matematika]]

Binetova formula - Povijest promjena

WikiSysop: bnz

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica