WikiSysop: brisanje nepotrebnih znakova

2022-03-14T02:06:31Z

brisanje nepotrebnih znakova

←Starija inačica		Inačica od 02:06, 14. ožujka 2022.
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Determinanta'''-->~~U [[matematika\|matematici]] je '''determinanta''' [[skalar]] svojstven [[kvadratna matrica\|kvadratnoj]] [[matrica\|matrici]] koji ima mnoga korisna svojstva u [[linearna algebra\|linearnoj algebri]]. Označava se obično s <math>\det A</math> ili <math>\|A\|</math>. Determinanta matrice koja je zadana svojim elementima može se označiti tako da se umjesto uglatih zagrada matrice napišu ravne zagrade determinante.		U [[matematika\|matematici]] je '''determinanta''' [[skalar]] svojstven [[kvadratna matrica\|kvadratnoj]] [[matrica\|matrici]] koji ima mnoga korisna svojstva u [[linearna algebra\|linearnoj algebri]]. Označava se obično s <math>\det A</math> ili <math>\|A\|</math>. Determinanta matrice koja je zadana svojim elementima može se označiti tako da se umjesto uglatih zagrada matrice napišu ravne zagrade determinante.

	== Formula ==		== Formula ==

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-12-09T20:38:36Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

U [[matematika|matematici]] je '''determinanta''' [[skalar]] svojstven [[kvadratna matrica|kvadratnoj]] [[matrica|matrici]] koji ima mnoga korisna svojstva u [[linearna algebra|linearnoj algebri]]. Označava se obično s <math>\det A</math> ili <math>|A|</math>. Determinanta matrice koja je zadana svojim elementima može se označiti tako da se umjesto uglatih zagrada matrice napišu ravne zagrade determinante.

== Formula ==
Za 2×2 matricu determinanta iznosi:
:<math>\det \begin{bmatrix} a & b \\c & d \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\c & d \end{vmatrix} = ad - bc.</math>

Za 3×3 matricu [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]]ova formula glasi:
:<math>\begin{vmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{vmatrix} =
a\begin{vmatrix}e&f\\ h&i\end{vmatrix} - b\begin{vmatrix}d&f\\ g&i\end{vmatrix} + c\begin{vmatrix}d&e\\ g&h\end{vmatrix}</math>

što se može dalje pojednostaviti u [[Gottfried Leibniz|Leibniz]]ovu formulu:

:<math>\begin{align}
\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}
&= a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \\
&= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.
\end{align}</math>

===''n''×''n'' matrice===
Generalna Leibnizova formula za ''n''×''n'' matrice glasi:
:<math>\det\ [a_{ij}] = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}\right)</math>

gdje [[suma]] iterira po elementima σ od skupa ''Sn'' koji sadrži [[permutacija|permutacije]] skupa {1, 2, ..., ''n''}. Funkcija sgn označava parnost permutacije, te daje +1 ako se ta permutacija može dobiti iz permutacije [1 2 3 ... ''n''] parnim brojem zamjena mjesta dvaju brojeva u permutaciji (tj. ako je permutacija parna), a -1 ako neparnim. ''σ''''i'' iznačava ''i''-ti broj u toj permutaciji. Primjerice, ako imamo permutaciju ''σ'' = [1 3 2 4], ''σ''1 = 1, ''σ''2 = 3, ''σ''3 = 2, ''σ''4 = 4. Kako zamjenom drugog i trećeg elementa dobivamo [1 2 3 4], tako je ta permutacija neparna i sgn(''σ'') = -1.

[[Produkt]] <math>\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}</math> označava umnožak ''n'' elemenata matrice tako da je iz ''i''-tog reda odabran element u ''σi''-tom stupcu. Tako za permutaciju [1 3 2 4] uzimamo umnožak ''a''11''a''23''a''32''a''44 (te ga ne zbrajamo nego oduzimamo jer se radi o neparnoj permutaciji, kao što je ranije napomenuto). Prolazeći kroz elemente ''Sn'' formula prolazi kroz sve načine kako odabrati ''n'' elemenata tako da je točno po jedan iz svakog reda i svakog stupca.

Primjenom ove formule na 2×2 i 3×3 matrice dobivaju se pojednostavljene formule za determinante tih matrica koje su navedene gore.

===Pomoću minora===
Determinanta se može izračunati i [[rekurzija|rekurzivno]], računanjem determinanti minora matrice. [[Minora]] ''n''×''n'' matrice je (''n''-1)×(''n''-1) matrica koju dobivamo tako da odstranimo jedan redak i jedan stupac početne matrice. Ovako determinantu računamo tako da za svaki element u jednom redu (ili stupcu) izračunamo determinantu minore koja ne sadrži redak i stupac u kojem je taj element, te ju pomnožimo s dotičnim elementom. Dobivene umnoške naizmjence zbrajamo i oduzimamo. Prvi element se pribraja, drugi oduzima, treći pribraja itd. ako smo računali minore po elementima neparnog reda ili stupca matrice, a inače se prvi element oduzima, drugi pribraja, treći oduzima itd.

Primjer za ovakav način računanja determinante je gore navedena Laplaceova formula za determinantu 3×3 matrice, gdje se za računanje koriste determinante 2×2 minora dobivene odstranjivanjem elemenata u 1. redu 3×3 matrice.

== Svojstva ==
* Determinanta [[jedinična matrica|jedinične matrice]] iznosi 1.
:<math>\det I = 1</math>
* [[Transponirana matrica|Transpozicija]] matrice ne mijenja determinantu.
:<math>\det A^T = \det A</math>
* Determinanta [[inverz matrice|inverza matrice]] je recipročna vrijednost determinante originalne matrice.
:<math>\det A^{-1} = (\det A)^{-1}</math>
* Ako je matrica singularna (nema inverz), njezina determinanta iznosi 0. Inače je matrica [[regularna matrica|regularna]].
* Kada je definiran umnožak dvaju matrica, tada je determinanta umnoška tih matrica jednaka umnošku determinanti.
:<math>\det AB = \det A \cdot \det B</math>
* Ako pomnožimo ''n''×''n'' matricu skalarom ''α'', njezina determinanta povećava se ''αn'' puta.
:<math>\det (\alpha A) = \alpha^n \det A</math>
* Ako bilo koji red ili stupac sadrži samo nule, tada je i determinanta matrice nula.
* Ako se bilo koji red ili stupac može izraziti kao [[linearna kombinacija]] preostalih redova (odnosno stupaca), tada je determinanta matrice nula.
* Zamjenom pozicije bilo koja dva reda (ili dva stupca) determinanta se množi s -1.
* Ako bilo kojem redu (ili stupcu) dodamo linearnu kombinaciju nekih iz preostalih redova (ili stupaca), determinanta ostaje ista.
* Determinanta trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

== Vidi ==
* [[Linearna algebra]]
* [[Rang matrice]]
* [[Linearna nezavisnost]]

[[Kategorija:Multilinearna algebra]]

Determinanta - Povijest promjena

WikiSysop: brisanje nepotrebnih znakova

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica