WikiSysop: zamjena teksta

2022-03-16T11:08:46Z

zamjena teksta

←Starija inačica		Inačica od 11:08, 16. ožujka 2022.
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Dirichletov teorem'''-->'''~~Dirichletov teorem''' je jedan od najvažnijih rezultata u [[Teorija brojeva\|teoriji brojeva]], a izniče u njenoj disciplini pod nazivom diofantske aproksimacije, nazvane po [[Stara Grčka\|starogrčkom]] [[matematičar]]u [[Diofant]]u.		Dirichletov teorem''' je jedan od najvažnijih rezultata u [[Teorija brojeva\|teoriji brojeva]], a izniče u njenoj disciplini pod nazivom diofantske aproksimacije, nazvane po [[Stara Grčka\|starogrčkom]] [[matematičar]]u [[Diofant]]u.

	Iskaz teorema glasi ovako.		Iskaz teorema glasi ovako.

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-12-12T02:24:52Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

'''Dirichletov teorem''' je jedan od najvažnijih rezultata u [[Teorija brojeva|teoriji brojeva]], a izniče u njenoj disciplini pod nazivom diofantske aproksimacije, nazvane po [[Stara Grčka|starogrčkom]] [[matematičar]]u [[Diofant]]u.

Iskaz teorema glasi ovako.

:Ako su <math>\alpha, Q </math> [[realni brojevi]] i <math>Q > 1</math>, tada postoje cijeli brojevi <math>p, q</math> takvi da vrijedi <math>1 \leq q < Q </math> te <math>||q\alpha|| = |q\alpha - p| \leq \frac{1}{Q}</math>.<ref>Andrej Dujella, Teorija brojeva, Školska knjiga , 2019.</ref>

Oznaka <math>||q\alpha||</math> predstavlja udaljenost od <math>q\alpha</math> do njemu najbližeg cijelog broja. Dakle, općenito vrijedi <math>||\alpha|| = \text{min}(\{{\alpha}\}, 1 - \{{\alpha}\})
</math> gdje je <math> \{{\alpha}\} = \alpha - \left\lfloor \alpha \right\rfloor </math> ''razlomljeni dio'' od <math>\alpha</math>.

Ovaj je teorem prvi dokazao [[Njemačka|njemački]] matematičar [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] još [[1842.]] godine.

== Motivacija ==
Jedno od glavnih pitanja diofantskih aproksimacija je naći racionalan broj <math>\frac{p}{q}</math> koji dobro aproksimira zadani iracionalni broj <math>\alpha</math>.

Osnovni postupak koji bismo mogli učiniti je da lociramo između koja dva prirodna broja se nalazi iracionalan broj <math>\alpha</math>. Jasno je da su ta dva tražena prirodna broja <math> \left\lfloor\alpha\right\rfloor,
\left\lfloor\alpha + 1\right\rfloor</math> pa se <math>\alpha</math> očito nalazi u segmentu <math> I = [\left\lfloor\alpha\right\rfloor,
\left\lfloor\alpha + 1\right\rfloor]</math>.

No, ovo je prilično gruba aproksimacija. Za bolju, dijelit ćemo segment <math>I</math> na sve više dijelova, tj. podintervala. Recimo da smo <math>I</math> podijelili na točno <math>q \in \mathbb{N}</math> jednakih dijelova.

Pitamo se koji je od racionalnih brojeva <math> \left\lfloor\alpha\right\rfloor + \frac{1}{q},\left\lfloor\alpha\right\rfloor + \frac{2}{q}, ..., \left\lfloor\alpha\right\rfloor + \frac{q}{q} = \left\lfloor\alpha\right\rfloor + 1 </math> najbliži broju <math>\alpha</math>. Neka je to <math>\left\lfloor\alpha\right\rfloor + \frac{k}{q} = \frac{p}{q}</math>.

Očigledno je onda <math>|\alpha - \frac{p}{q}| < \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{q} </math> jer je svaki podsegment duljine <math>\frac{1}{q}</math> pa <math>\alpha</math> mora biti udaljen od rubne točke podsegmenta u kojem pripada za manje od polovice njegove duljine. Valja uočiti da treba biti stroga nejednakost jer <math>\alpha</math> ne može biti udaljen od <math>\frac{p}{q}</math> za točno pola duljine posegmenta, odnosno <math>\frac{1}{2q}</math>, jer je <math>\alpha</math> iracionalan.<ref>https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Rational_approximation</ref>

Vidimo da ovime birajući broj <math>q</math> generiramo točno jedan <math>p</math> tako da je <math>d(\alpha, \frac{p}{q}) < \frac{1}{2q}</math>.

No, ovo nije naročito dobra aproksimacija. Na primjer, ako želimo da bude <math> d < \frac{1}{10000} </math> trebamo za nazivnik uzeti čak <math> q = 5000 </math> da bi ova aproksimacija uspjela.

Dirichletov će nam teorem dati puno bolje aproksimacije,
<math>|\alpha - \frac{p}{q}| < \frac{1}{q^2}</math>, ali za manje parova <math>(p, q)</math>. Naime, želimo li da bude <math>d(\alpha, \frac{p}{q}) < \frac{1}{10 000}</math>, Dirchletov teorem kaže da će postojati barem jedan broj <math>p</math> za koji će ta aproksimacija uspjeti i to za nazivnike <math>q</math> manje ili jednake <math>100.</math>

Dokazat ćemo Dirichletov teorem u ekvivalentnom (skaliranom) obliku,
dakle <math>|q\alpha - p| < \frac{1}{q}.</math>

== Pomoćna lema ==
Neka imamo dva realna broja <math>x < y. </math> Tada je s brojevnog pravca očito da vrijedi <math>|x - y| = |\left\lfloor x \right\rfloor - \left\lfloor y \right\rfloor| \pm |\{x\} - \{y\}|.</math>

Dakle, vidimo da na udaljenosti <math>|\{x\} - \{y\}| </math> od <math>|x - y|</math> postoji prirodni broj, i to s obje strane broja <math>|x - y|.</math><ref>https://www.expii.com/t/dirichlets-approximation-theorem-2468</ref>

== Primjer i dokaz ==
Uzmimo <math>\alpha = \sqrt{2}, Q = 100</math>.

Dakle, želimo dokazati da među brojevima u [[skup]]u <math> S = \{0, \sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2},..., 100\sqrt{2}\}</math> postoji barem jedan koji je udaljen od nekog cijelog broja za manje od <math>\frac{1}{Q} = \frac{1}{100} </math>.

Jasno je da je dovoljno promatrati razlomljene (decimalne) dijelove brojeva u skupu <math>S.</math>

U tu svrhu, promotrimo skup <math>S' = \{0, \{\sqrt{2}\}, \{2\sqrt{2}\}, ..., \{100\sqrt{2}\}\}. </math>

Kako su svi članovi skupa <math>S'</math> u segmentu <math>[0, 1)</math>, podijelimo taj segment na 100 [[interval|podintervala]].
Dobivamo <math>[0, \frac{1}{100}), [\frac{1}{100}, \frac{2}{100}), ..., [\frac{99}{100}, 1). </math>

Prema [[Dirichletov princip|Dirichletovom principu]] je očito da barem dva broja (ili više) <math>\{x\sqrt{2}\}, \{y\sqrt{2}\} </math> iz <math>S</math> pripadaju istom podintervalu.

Prema tome, postoje barem dva <math>x, y \in \{0, 1, 2, ..., 100\}, x \neq y</math> takvi da je
<math>0 \leq |\{x\sqrt{2}\} - \{y\sqrt{2}\}| < \frac{1}{100} </math>.

Prema pomoćnoj lemi slijedi da na udaljenosti <math>|\{x\sqrt{2}\} - \{y\sqrt{2}\}|</math> od broja <math> x\sqrt{2} - y\sqrt{2} = \sqrt{2}(x - y) </math> postoji <math>p \in \mathbb{Z} </math>.

Kako je <math>1 \leq |x - y| \leq Q = 100 </math> stavimo <math>q = |x - y|</math>. (Postojanje brojeva <math>x, y </math> očito dokazuje postojanje broja <math>q.</math>)

Ovime smo dokazali da postoje <math>p, q \in \mathbb{Z}, 1 \leq q \leq 100 </math> takvi da je <math>|q\sqrt{2} - p| < \frac{1}{Q} = \frac{1}{100}. </math>

Zbog toga što je <math>1 \leq q \leq Q = 100</math> slijedi <math>\frac{1}{Q} = \frac{1}{100} \leq \frac{1}{q} </math>. Zato vrijedi <math>|q\sqrt{2} - p| \leq \frac{1}{100} < \frac{1}{q}. </math>

Evidentno je da, uz to, mora biti <math>||q\alpha|| = |q\sqrt{2} - p| \leq \frac{1}{100}.</math>

Slično, ako je pak <math> 1 < Q < Q' < Q + 1 </math> očito je <math> \frac{1}{Q'} < \frac{1}{Q} </math> pa teorem vrijedi i u tom slučaju.

Jasno je da je [[Nejednadžba|nejednakost]] <math>|q\sqrt{2} - p| \leq \frac{1}{100} < \frac{1}{q}, </math> ekvivalentna s <math>|\sqrt{2} - \frac{p}{q}| \leq \frac{1}{100q} < \frac{1}{q^2}, </math> čime smo pokazali Dirichletov teorem u aproksimacijskom obliku sličnom uvodnom primjeru.

Analogno se pokazuje za bilo koji <math>\alpha \geq 0, Q > 1, </math> a onda očito i za <math>\alpha < 0</math>.

== Zanimljivosti ==
Dirichlet je u svome dokazu ovog teorema, po prvi puta koristio elementarnu i jednu od najvažnijih metoda u [[Kombinatorika|kombinatorici]], poznatu pod nazivom [[Dirichletov princip]] (u nas još poznatu kao princip kutija ili pak u stranoj literaturi kao “princip pretinaca” i “princip golubinjaka”),
koja upravo zato nosi njegovo ime.<ref>Detalji se mogu naći na poveznici https://hrcak.srce.hr › filePDF
Web-rezultati
Dirichletov princip</ref>

==Izvori==
{{izvori}}

[[Kategorija:Matematika]]

Dirichletov teorem - Povijest promjena

WikiSysop: zamjena teksta

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica