WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-07-09T07:37:02Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

{{dz|[[Elipsa (figura)]]|značenje u kontekstu književnosti}}
[[Datoteka:Elipse.png|mini|300px|Elipsa: '''a''' = velika poluos '''b''' = mala poluos]]

'''Elipsa''' ([[Hrvatski jezik|hrv.]] '''pakružnica''')<ref>[https://sketchpad.carnet.hr/opis-projekta.htm Matematika uz pomoć računala i računalnog programa Sketchpad]</ref> je zatvorena [[krivulja]] iz obitelji [[čunosječnica]]. Elipsa je određena dvjema [[poluos]]ima: velikom (oznaka: ''a'') i malom (oznaka: ''b''). Oblik elipse definira se njenim [[ekscentricitet]]om (ili eliptičnošću, oznaka: ''e'').

Uz zadane dvije točke u ravnini, točke F1 i F2 i duljinu 2''a'' na kojoj su simetrično odabrane točke F1 i F2 uz uvjet <math>2a > d(\mathrm{F}_1, \mathrm{F}_2)</math>, tada elipsom s fokusima (žarištima) u točkama F1 i F2 i velikom osi 2''a'' nazivamo skup točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do fokusa F1 i F2 jednak 2''a''.

== Parametri ==

Smjestimo li središte elipse u središte koordinatnog sustava, tada udaljenost |OF1| = |OF2| nazivamo linearnim ekscentricitetom elipse ''e''. Numerički ekscentricitet elipse određen je kao

:<math> \varepsilon\, = \frac{e}{a} <1 </math>

Elipsa je određena velikom poluosi i ekscentritetom, ili velikom i malom poluosi gdje vrijedi

:<math> e = \sqrt{a^2 - b^2}</math>

i

:<math> b = \sqrt{a^2 - e^2}</math>

== Jednadžba elipse ==
=== Jednadžba elipse sa središtem u S(0, 0) ===

Elipsa sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava i poluosima a i b određena je tzv. '''kanonskom jednadžbom'''

:<math> b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b ^2 \, </math>

koja se može prikazati i u '''segmentnom obliku'''

:<math> {\frac{ x ^2}{ a^2}+ \frac{y^2}{b^2}}= 1 </math>

=== Jednadžba elipse sa središtem u S(p, q) ===

Elipsa sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q) i poluosima a i b određena je jednadžbom

:<math> b^2(x-p)^2 + a^2(y-q)^2 = a^2b^2 \, </math>

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

:<math> \frac{(x-p)^2}{a^2}+ \frac{(y-q)^2}{b^2}= 1 </math>

== Tangenta elipse ==
=== Tangenta elipse sa središtem u S(0, 0) ===

Tangenta elipse koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom <math>\mathrm{T}(x_0, y_0)</math> na elipsi određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je

:<math> 2b^2 xdx + 2a^2ydx = 0 </math>

odakle slijedi da je

:<math> y'= \frac{dy}{dx} = \operatorname{tg} \alpha = - {\frac{b^2}{a^2} \frac{x_0}{y_0}} </math>

gdje je α kut između tangente i [[apscisa|apscise]], te da je jednadžba tangente na elipsu

:<math> y-y_0 = -{\frac{b^2}{a^2}}{\frac{x_0}{y_0}}(x-x_0) </math>

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžba tangente elipse

:<math> \frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1 </math>

=== Tangenta elipse sa središtem u S(p, q) ===

Tangenta elipse koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom ''T'' <math>(x_0,y_0)</math> na elipsi određena je koordinatama točke ''T'' i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je

:<math> {2b^2(x-p)dx+2a^2(y-q)dy} = 0 \, </math>

odakle slijedi da je je

:<math> y'= \frac{dy}{dx} = \operatorname{tg} \alpha = -{\frac{b^2}{a^2}} {\frac{x_0-p}{y_0-q}} </math>

te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente elipse

:<math> y-y_0 = -{\frac{b^2}{a^2}} {\frac{x_0-p}{y_0-q}}(x-x_0) </math>

== Vidi također ==
* [[Ekscentricitet]]
* [[Prvi Keplerov zakon]]

== Izvori ==
{{izvori}}

[[Kategorija:Geometrija]]
[[Kategorija:Krivulje]]
[[Kategorija:Algebarske krivulje]]
[[Kategorija:Krivulje drugog reda]]

Elipsa - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica