WikiSysop: bnz

2022-03-25T13:00:13Z

bnz

←Starija inačica		Inačica od 13:00, 25. ožujka 2022.
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Fibonaccijev broj'''-->'''~~Fibonaccijevi brojevi''' oblikuju [[niz]] definiran sljedećom rekurzivnom relacijom:		Fibonaccijevi brojevi''' oblikuju [[niz]] definiran sljedećom rekurzivnom relacijom:
	:<math>		:<math>
	F(n):=		F(n):=

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-23T23:17:45Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

'''Fibonaccijevi brojevi''' oblikuju [[niz]] definiran sljedećom rekurzivnom relacijom:
:<math>
F(n):=
\begin{cases}
0 & \mbox{ako je } n = 0; \\
1 & \mbox{ako je } n = 1; \\
F_{n-1} + F_{n-2}\!\, & \mbox{ako je } n > 1. \\
\end{cases}
</math>

Dakle, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Primjerice, <math> 2 + 3 </math> dat će <math> 5 </math>, <math> 3 + 5 </math> dat će <math> 8 </math>, itd.

Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao <math> F_n </math>, za <math> n = 0, 1, 2, ... </math> su redom <math> 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... </math>

Treba napomenuti da Fibonaccijev niz ipak može početi i s <math> F_1 = 1 </math> umjesto s <math> F_0 = 0, </math> no to često nije bitno u konkretnim razmatranjima svojstava tog niza.

[[Datoteka:FibonacciBlocks.svg|mini|desno|250px|Popločanje s kvadratima čije su stranice po duljini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi]]
[[Datoteka:Fibonacci spiral 34.svg|desno|250px|mini|Fibonaccijeva spirala, stvorena iscrtavanjem lukova koji spajaju suprotne kuteve kvadrata u Fibonaccijevom popločanju prikazanom gore – vidjeti [[zlato|zlatna]] [[spirala]].]]

Fibonaccijevi brojevi su imenovani po [[Fibonacci|Leonardu od Pise]], poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u [[Indijska matematika|Indiji]].<ref>Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.{{ISSN|0047-6269}}]</ref><ref>Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985</ref>

== Osnovna svojstva ==
=== Svojstva vezana uz djeljivost ===
*Svaka dva uzastopna Fibonaccijeva broja su relativno prosta. Dokažimo to. Pretpostavimo da je <math> M(F_{n - 1}, F_n) = d. </math> No, onda je <math> d | F_{n} - F_{n - 1} = F_{n - 2}. </math> Analogno, <math> d | F_{n - 3}, F_{n - 4}, ..., F_1 = 1 </math> što povlači <math> d = 1. </math>

* Vrijedi
:<math>F_n | F_{kn}, \forall k \in \mathbb{N} </math>.

Ovo se svojstvo lako pokaže indukcijom. Za <math>k = 1 </math>, tvrdnja je očita. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki <math>k</math>. Uočimo sada da je <math>F_{k + 1}n = F_{kn + n}</math>, tj. <math>F_{(k + 1)n} = F_{kn - 1}F_{n} + F_{kn}F_{n + 1}</math> (vidjeti vezu s Morseovim kodom). Kako <math>F_n | F_{kn} </math> iz gornje jednakosti slijedi
<math>F_n | F_{(k + 1)n}</math>, čime je tvrdnja dokazana.

*Vrijedi:
:<math>M(F_m, F_n) = F_{M(m, n)}</math>.

Neka je <math>M(m, n) = d</math>. Kako, prema gornjoj jednakosti <math>F_d | F_m, F_n</math>. (Jer su <math>m, n</math> višekratnici od <math>d</math>.)
Iz ovoga očito slijedi <math>F_d | M(F_m, F_n)</math>. (1)

Prema [[Bézoutova lema|Bézoutovoj lemi]] se <math>d</math> može prikazati kao [[Linearna algebra|linearna kombinacija]]
<math>am + bn</math> za cijele brojeve <math>a, b</math>.

Zato je <math>F_d = F_{am + bn}</math> pa slijedi da se <math>F_d</math> može zapisati kao linearna kombinacija <math>F_m, F_n</math> jer je <math>F_d = F_{am - 1}F_{bn} + F_{am}F_{bn + 1}</math>. Dakle, <math>M(F_m, F_n) | F_d</math>. (2)

Iz (1) i (2) slijedi <math>F_d = M(F_m, F_n)</math>, što je i trebalo pokazati.<ref>http://services.artofproblemsolving.com › ...PDF
Divisibility in the Fibonacci Numbers - Art of Problem Solving</ref>

=== Druga važna svojstva ===
*Vrijedi <math> F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}[{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^n - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^n]. </math> Ovo se važno svojstvo Fibonaccijevih brojeva naziva [[Binetova formula]].

*Vrijedi <math> F_{n - 1}F_{n + 1} = F_n^2 + (- 1)^n, n \geq 2.. </math> Ovo se pravilo naziva [[Cassinijev identitet]].<ref>http://e.math.hr/category/klju-ne-rije-i/fibonaccievi-brojevi</ref>

== Povezanost sa zlatnim rezom ==
Ako imamo dvije [[Dužina|dužine]], jednu dužu i jednu kraću te ako je [[omjer]] duljina duže na prema kraćoj dužini jednak [[Zlatni rez|zlatnom rezu]] (<math> \approx 1.618 </math>), tada je zlatnom rezu jednak i omjer zbroja duljina duže i kraće dužine na prema duljini duže.

Vidjet ćemo da se slična relacija može naći u omjerima triju uzastopnih Fibonaccijevih broja, <math> F_{n - 1}, F_n, F_{n + 1}. </math> Naime, iz [[Cassinijev identitet|Cassinijevog identiteta]] [[dijeljenje|dijeljenjem]] obje strane s <math> F_{n - 1}F_n, </math> slijedi <math> \frac{F_n}{F_{n - 1}} = \frac{F_{n + 1}}{F_n} + \frac{(- 1)^n}{F_{n - 1}F_n}. </math>

Kada <math> n \rightarrow \infty </math> možemo zanemariti drugi pribrojnik pa dobivamo <math> \frac{F_n}{F_{n - 1}} = \frac{F_{n + 1}}{F_n} </math> što zadovoljava povijesnu (geometrijsku) definiciju zlatnog reza navedenu gore.

== Veza s Morseovim kodom ==
[[Morseov kod]] je niz točaka i crtica. Duljinu Morseovog koda definiramo tako da svaka točka pridonosi duljinu 1, a svaka crtica duljinu 2.

Prema tome, ako imamo Morseov kod duljine ''n'', onda možemo zamisliti da imamo ''n'' pozicija od kojih su neke spojene crticama, a na ostalima se nalaze točke.

Zato možemo zamisliti da je crtica zapravo spojnica dviju točaka, ali dvije crtice ne mogu stajati jedna pored druge (razmak mora biti najmanje jedna ili više točaka).

Označimo sada s <math>M_n</math> broj svih Morseovih kodova duljine
<math>n</math>. Dokazat ćemo relaciju <math>M_n = M_{n - 1} + M_{n - 2}</math> koja je posve ekvivalentna rekurzivnoj formuli Fibonaccijeva niza.

Naime, Morseov kod duljine <math>n</math> može započeti točkom (takvih ima
<math>M_{n - 1}</math>) ili crticom (takvih ima <math>M_{n - 2}</math>). Dakle, očito je <math>M_n = M_{n - 1} + M_{n - 2}</math> te vrijedi <math>M_1 = 1</math>, <math>M_2 = 2</math> iz čega slijedi direktna veza s Fibonaccijevim nizom: <math>M_n = F_{n + 1}</math>.

=== Važni identiteti ===
Vrijedi:
:<math>F_{m + n} = F_{m - 1}F_n + F_mF_{n + 1}</math>

Dokaz.
Gore smo pokazali da je <math>F_{m + n}</math> jednak broju <math>M_{m + n - 1}</math> svih Morseovih kodova duljine <math>m + n - 1</math>.

Uočimo sada u svakom takvom kodu
<math>(m - 1)</math>-vu i <math>m</math>-tu poziciju. Morseove kodove ćemo podijeliti na one koji imaju crticu između te dvije pozicije i na one koji ju nemaju.

Jasno je da kod koji ima crticu između <math>(m - 1)</math>-ve i
<math>m</math>-te pozicije može na prve <math>m - 2</math> pozicije imati bilo kakav Morseov kod, a potom mora imati crticu, a zatim na zadnjih <math>(m + n - 1) - m = n - 1</math> pozicija može ponovno imati bilo kakav Morseov kod pa takvih kodova očigledno ima <math>M_{n - 2}M_{n - 1} = F_{m - 1}F_n</math>. S druge strane, kod koji nema crticu između <math>(m - 1)</math>-ve i <math>m</math>-te pozicije može na prvih <math>m - 1</math> pozicija imati bilo kakav
Morseov kod, kao i na zadnjih
<math>(m + n - 1) - (m - 1) = n</math> pozicija. Zato takvih kodova ima <math>M_{m - 1}M_n = F_mF_{n + 1}</math>, čime je identitet dokazan.

Od ostalih identiteta s Fibonaccijevim brojevima koji su vezani uz Morseov kod, po važnosti se ističu sljedeći:

* <math>F_{2n} = F^2_{n + 1} - F^2_{n - 1}</math>,
* <math>F_{2n + 1} = F^2_n + F^2_{n + 1}</math>,
* <math>F_1 + F_2 + ... + F_n = F_{n + 2} - 1</math>.<ref>Za dokaze, pogledati knjigu od akademika Andreja Dujelle, ''Teorija brojeva'', Školska knjiga, 2019.</ref>

== Varijacije Fibonaccijevog niza ==
Možemo konstruirati nove nizove za koje neće nužno vrijediti <math> F_1 = F_2 = 1 </math> kao što to vrijedi za Fibobaccijev niz. No,
željet ćemo da osnovno pravilo, odnosno identitet, <math> F_n = F_{n - 2} + F_{n - 1}</math> vrijedi za sve te nizove. Takve nizove jednim imenom nazivamo generalizirani Fibonaccijevi nizovi.

Uočimo da je neki takav niz <math> a_{(F_1, F_2)} </math> zadan ako su zadani <math> F_1, F_2 \in \mathbb{N}. </math>

No, dakako da <math> F_1, F_2 </math> mogu biti negativni. Uočimo da će <math> F_n \rightarrow -\infty </math> kada <math> n \rightarrow \infty </math> samo ako je <math> F_1, F_2 < 0 </math> ili ''bez smanjenja općenitosti'' (možemo [[Permutacija|permutirati]] <math> F_1, F_2 </math>) kada je <math> |F_1| > |F_2|, F_1 < 0, F_2 > 0. </math>

=== Primjeri ===
Ovdje su primjeri takvih nizova:
<math> a_{(5,5)} = 5, 5, 10, 15, 35, ... </math>,
<math> a_{(3, 8)} = 3, 8, 11, 19, ... </math>,
no možemo formirati niz za koji vrijedi <math> F_1 > F_2 </math> kao npr. <math> a_{(4, 2)} = 4, 2, 6, 8, ... </math>

=== Lucasovi brojevi ===
Za <math> F_1 = 2, F_2 = 1 </math> dobivamo niz tzv. ''Lucasovih brojeva'' nazvanih po [[Francuska|francuskom]] [[matematika|matematičaru]] Françoisu Édouardu Anatoleu Lucasu (1842. - 1891.).

Evo prvih nekoliko članova tog niza: <math> 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... </math>

== Trojke generaliziranog Fibonaccijevog niza ==

Tri utastopna člana <math> F_{n}, F_{n + 1}, F_{n + 2}</math> Fibonaccijevog niza zajednički zovemo trojka generaliziranog Fibobaccijevog niza. Uočimo da za <math> n \in \{2, 3, ...\} </math> vrijedi <math> F_{n} < F_{n + 1} < F_{n + 2}. </math>
(Za <math> n = 1 </math> sustav nejednakosti <math> F_n < F_{n + 1} < F_{n + 2} </math> ipak ne vrijedi ako niz počinje s <math> F_2 \leq F_1.</math>)

Dakle, intuitivno je da vrijedi <math> F_nF_{n + 2} \approx F_{n + 1}F_{n + 1}. </math> Zapravo, ispravno je <math> F_nF_{n + 2} = F_{n + 1}F_{n + 1} + (- 1)^{n + 1} </math> prema [[Cassinijev identitet|Cassinijevom identitetu]].
Označimo sada s <math> D = F_nF_{n + 2} - F_{n + 1}F_{n + 1}. </math>

Pretpostavimo sada da su <math> F_1 \leq F_2 </math> dva početna broja niza za kojeg vrijedi osnovna relacija iz Fibonaccijevog niza.

Hoće li umnožak prvog i trećeg člana, <math> F_n \cdot F_{n + 2} </math>, neke trojke biti veći za 1 odnosno manji za 1 od kvadrata srednjeg člana, <math> F_{n + 1} </math>, te trojke isključivo ovisi o ''razlici'' <math> d </math> prvog i drugog člana tog niza, <math> d = F_2 - F_1 </math>.

Ispišimo prvih nekoliko članova tog niza: <math> F_1 = x, F_2 = x + d, F_3 = 2x + d, F_4 = 3x + 2d, ... </math>

=== Slučaj 1., <math> F_1 = F_2 </math> ===
Ovdje će vrijediti <math> F_nF_{n + 2} = F_{n + 1}F_{n + 1} + (- 1)^nF^2, </math> tj. vrijedit će <math> D = F^2 </math> ako je <math> n </math> paran, odnosno <math> D = - d^2 </math> ako je neparan. (1)

''Dokaz.''
Uočimo da je <math> d = 0. </math>
Ispišimo nekoliko članova ovog niza: <math> x, x, x + x, (x + x) + x, ... = x, x, 2x, 3x, ...</math> Za prvu trojku <math> T_1 = (x, x, x + x) </math> vrijedi (1) jer je <math> D = (x + x)x - xx = xx = x^2 = F^2. </math> Za sljedeću trojku <math> T_2 = (x, 2x, 3x) </math> računamo <math> D = ((x + x) + x)x - (x + x)(x + x), </math> odakle je <math> D = - xx = - F^2. </math> Slično se provjeri za <math> T_3 = (2x, 3x, 5x) </math> pa se (1) lako dokaže matematičkom indukcijom.

Dakle, vrijedit će <math> D(T_1) = F^2, D(T_2) = - F^2, D(T_3) = F^2, ... </math>

=== Slučaj 2., <math> F_1 < F_2 </math> ===
Slično se dokazuje da u ovom slučaju vrijedi <math> D = F_1^2 - (F_1 + d)d. </math> Odavde vidimo da ako je <math> d < F_1 </math> će biti <math> D(T_{2k - 1})> 0, D(T_{2k}) < 0</math> za <math> k \in \mathbb{N} </math>, a ako je <math> d > F_1 </math> vrijedit će obratno.

== Fibonnacijev niz u prirodi ==

Fibonaccijev niz se često povezuje i s brojem [[zlatni rez|zlatnog reza]] [[fi]] (phi, <math> \varphi </math>), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, <math> 2, 3, 5, 8, </math> te podijelimo li svaki sljedeći broj s njemu prethodnim, dobiveni broj težit će broju fi:
<math> \frac{3}{2} = 1, \frac{5}{3} = 1.67, \frac{8}{5} = 1.6, </math> itd. Broj <math> 1,618 </math> je fi zaokružen na tri decimale (fi je iracionalan). Odnosi mjera kod [[biljka|biljaka]], [[životinja]] i [[ljudi]], sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:

# U [[pčele|pčelinjoj]] zajednici, [[košnica|košnici]], uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
# [[indijska lađica|Nautilus]] (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima [[spirala|spirale]]. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema sljedećem dobili bi broj fi.
# Sjeme [[suncokret]]a raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
# Izmjerimo li [[čovjek|čovječju]] dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od [[pupak|pupka]] do poda, dobijamo broj fi.

== Izvori ==
{{izvori}}

{{Mrva-mat}}

[[Kategorija:Matematika]]

Fibonaccijev broj - Povijest promjena

WikiSysop: bnz

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica