WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-10-22T03:46:52Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

[[Funkcija]] je ovisnost među dvjema veličinama koje najčešće označavamo s <math> x </math> i <math> y, </math> a zapisujemo <math> y = f(x) </math> ili <math> y </math> je funkcija od <math> x. </math> Oznaku <math> f(x) </math> uveo je [[Leonhard Euler]].

Veličinu <math> x </math> nazivamo ulazna, a <math> y </math> izlazna vrijednost. Napomenimo još da funkcija može biti zadana formulom, [[riječ]]ima, tablicom, [[graf]]om i dijagramom.

Ovdje ćemo se baviti '''linearnom funkcijom''', tj. funkcijom oblika <math> f(x) = y = ax +b </math> gdje su <math> a \neq 0, b </math> realni brojevi. Broj <math> a </math> naziva se [[Koeficijent smjera pravca|koeficijentom smjera]], a broj <math> b </math> zovemo odsječkom na osi <math> y. </math>

Ako je <math> a > 0 </math> linearna funkcija raste, a ako je
<math> a < 0 </math> funkcija pada. Dokažimo prvi dio tvrdnje. Uzmimo <math> x, x + h, h > 0. </math> Tada je <math> a(x + h) + b = ax + b + ah > ax + b </math> (jer je <math> ah > 0 </math>), tj. <math> f(x + h) > f(x), </math> što je i trebalo pokazati. Analogno se dokazuje za <math> a < 0. </math>

== Nagib ==
Neka su zadane dvije točke u [[Koordinatni sustav|Kartezijevom koordinatnom sustavu]], <math> A(x_1, y_1), B(x_2, y_2). </math>
Tada je nagib funkcije na intervalu <math>[x_1, x_2] </math>
određen kvocijentom <math> \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{dy}{dx}. </math> Kako funkciju gledamo slijeva nadesno, kažemo da vrijednost funkcije na krajnjim točkama toga intervala raste (kod ove funkcije rast/pad je konstantan) ako je nagib pozitivan, a ako je negativan kažemo da pada.

Konstantan nagib najvažnije je svojstvo linearne funkcije. Broj
<math> a </math> naziva se koeficijenom smjera ili nagibom pravca koji je graf linearne funkcije. Posebno, <math> \frac{d}{dx} f(x) = a, </math> gdje je <math> f(x) = ax + b, \forall a, b \in \mathbb{R}. </math>

Dokažimo da je njezin nagib konstantan, tj. da je njezin graf [[pravac]].

Pretpostavimo da imamo f-ju <math> y = ax. </math> Onda imamo točke <math> A(x_1, ax_1), B(x_2, ax_2) </math> (uz <math> x_1 \neq x_2 </math>). Tada je nagib na intervalu <math> [x_1, x_2] </math> jednak <math>\frac{a(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} \equiv a </math> i tvrdnja je dokazana.

Isto tako je funkcija <math> y = ax + b </math> pravac. Ako je <math> b > 0 </math> graf se uzdiže za <math> b </math> jediničnih vektora (jer je <math> y' = y + b </math>), a ako je <math> b < 0 </math> graf se spušta za <math> b </math> jediničnih [[vektor]]a (jer je <math> y' = y - b). </math>

Slično, ako je <math> y = a(x - x_0) + b </math> cijeli se graf pomiče za <math> x_0 </math> udesno ako je <math> x_0 > 0 </math>), a ulijevo za <math> x_0 </math> ako je <math> x_0 < 0. </math>

Gornje se tvrdnje mogu dokazati i transformacijama koordinatnih osi.

== Paralelnost i okomitost pravaca ==
'''Paralenost.'''
Neka imamo <math> y = a_1x, y = a_2x. </math> Očito je da su ta dva pravca jednaka ako i samo ako je <math> a_1 = a_2. </math> Analogno za bilo koju linearnu funkciju (zbog gore navedenih transformacija). Dakle, grafovi dviju funkcija <math> y = a_1x + b_1, y = a_2x + b_2 </math> su pravci koji su [[Paralelnost|paralelni]] ako i samo ako vrijedi <math> a_1 = a_2. </math>

'''Okomitost.'''
Pretpostavimo da su pravci <math> y = a_1x, y = a_2x </math>. Uočimo [[Pravi kut|pravokutni]] [[trokut]] dan vrhovima <math> (0, 0), (x, 0), (x, a_1x). </math> I sada, rotiranjem svih (<math> \forall x \in \mathbb{R} </math>) takvih trokuta za <math> 90^\circ </math> dobili smo ovaj drugi pravac. Dakle, vrijedi <math> a_2 = - \frac{1}{a_1}. </math> Opet, zbog gornjih transformacija, dva su pravca okomita ako i samo ako je <math> a_1 \cdot a_2 = - 1. </math>

Napomenimo da je veza među transformacija grafa te paralelnosti i okomitosti pravaca sljedeća: vrijedi <math> p \parallel q </math> ako i samo je <math> p' \parallel q'</math> gdje su <math>p', q' </math> pravci dobiveni redom translacijom pravaca <math> p, q. </math> Analogno za <math> p \perp q. </math>

== Kut između dvaju pravaca ==
Lako se dokaže da za kut <math> \varphi </math> između neka dva pravca <math> p_1, p_2 </math> vrijedi <math> \tan{\varphi} = |\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 \cdot k_2}|, </math> gdje su redom <math> k_1, k_2 </math> nagibi pravaca <math> p_1, p_2. </math>

== Zadanost i jednadžba pravca kroz dvije točke ==
Linearna funkcija može biti zadana parametrima <math> a, b, </math> nagibom i nekom točkom ili dvjema točkama.

Pretpostavimo opet da imamo pravac
<math> y = ax + b </math> i
dvije točke za koje je <math> y_1 = ax_1 + b, y_2 = ax_2 + b. </math> Oduzimanjem druge jednadžbe od prve dobivamo <math> y - y_1 = a(x - x_1), </math> što pišemo kao <math> y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1). </math><ref>Branimir Dakić, Neven Elezović, Matematika 1, udžbenik za gimnazije i tehničke škole, Element, Zagreb, 2014.</ref>

'''Eksplicitni i implicitni oblik'''

Valja spomenuti da jednadžba pravca može biti zadana u eksplicitnom ili implicitnom obliku. Prvi oblik je bilo koja jednadžba oblika <math> Ay + Bx + C = 0, </math> a drugi općenito jednadžba <math> y= - \frac{B}{A}x - \frac{C}{A}. </math>

'''Segmenti oblik jednadžbe pravca'''

Jednadžbu pravca možemo zapisati u ovome obliku: <math> \frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1, m, n \in \mathbb{R}. </math> Ovaj se oblik jednadžbe pravca naziva segmentnim jer za <math> x = 0 </math> dobivamo odsječak (''segment'') na osi <math> y </math> i obrnuto. Zbog toga je površina ispod ili iznad grafa pravca omeđena koordinatnim osima jednaka <math>
\frac{1}{2}|mn|. </math><ref>Branimir Dakić, Neven Elezović, Matematika 3, udžbenik za gimnazije i tehničke škole, Element, Zagreb, 2014.</ref>

== Nultočka linearne funkcije ==
Općenito, nultočka je svaka vrijednost neovisne varijable <math> x </math> za koju je <math> f(x) = 0. </math>

Dakle, nultočka linearne funkcije jednaka je <math> ax + b = 0 \iff x = - \frac{b}{a}. </math>

==Izvori==
{{izvori}}

[[Kategorija:Matematika]]

Linearna funkcija - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica