WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-24T06:28:53Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

U [[Apstraktna algebra|apstraktnoj algebri]] '''monoid''' je [[algebarska struktura]] s jednom asocijativnom [[Binarna operacija|binarnom operacijom]] i neutralnim elementom.

== Definicija ==
''Monoid'' je skup M s binarnom operacijom ''* : M × M → M'', te za koji vrijede sljedeći aksiomi:
*[[Zatvorenost (matematika)|Zatvorenost]]: <math>(\forall a, b \in M),\ a*b \in M</math> (za svake a i b iz M, a*b je također u M)
*[[Asocijativnost]]: <math>(\forall a, b, c \in M),\ (a * b) * c = a * (b * c)</math>
*Neutralni element: <math>(\exists e \in M)\ (\forall a \in M)\ (a * e = e * a = a)</math> (postoji element ''e'' iz M, takav da je za svaki ''a'' iz M vrijedi ''a*e = e*a = a''.)

Također možemo reći da je monoid [[polugrupa (matematika)|polugrupa]] s neutralnim elementom.

Monoid zadovoljava sve aksiome grupe osim postojanja inverza.

== Primjeri ==
*Svaki jednočlani skup {x} tvori monoid koji ima samo jedan element. Za fiksirani ''x'' je taj monoid jedinstven jer aksiomi monoida zahtjevaju da u ovom slučaju bude ''x*x = x''.
*Svaka grupa je monoid.
*Svaka [[polugrupa]] ''S'' se može pretvoriti u monoid tako da joj dodamo element ''e'' koji nije u ''S'' i definiramo e*e = e i e*s = s*e = s, za svaki s ∈ S.
*Neka je ''S'' [[skup (matematika)|skup]]. Tada je skup svih funkcija S → S s operacijom [[Kompozicija funkcija|kompozicije]] funkcija monoid. Neutralni element je funkcija identiteta, tj. f : S → S takva da je f(s) = s, za svaki s ∈ S.

== Svojstva ==
*Izravno iz definicije se može pokazati da je neutralni element jedinstven:
: Pretpostavimo da postoje dva neutralna elementa, ''e1'' i ''e2''. Tada je: e1 = e1*e2 = e2

[[Kategorija:Algebra]]

Monoid - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica