WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-23T07:30:51Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

[[Integral|Integriranje]] je jedna od dvije najosnovnije operacije [[infinitezimalni račun|infinitezimalnog računa]]. Dočim [[derivacija|deriviranje]] ima jednostavna pravila kojima se može iznaći derivacija složene [[funkcija (matematika)|funkcije]] diferenciranjem jednostavnijih komponentnih funkcija, integriranje se ne može ostvariti na taj način, te su stoga tablice poznatih integrala često korisne.
Ova stranica popisuje neke od čestih antiderivacija - potpuniji se popis može pronaći u [[popisi integrala|popisu integrala]].

Koristi se oznaka ''C'' za [[proizvoljna konstanta integracije|proizvoljnu konstantu integracije]] koja se može odrediti ako se zna nešto o vrijednosti integrala na nekoj točki. Stoga svaka funkcija posjeduje beskonačan broj antiderivacija.

Ove formule samo u drugom obliku iskazuju tvrdnje u [[tablica derivacija|tablici derivacija]].

== Pravila za integriranje općenitih funkcija ==

:<math>\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstanta)}\,\!</math>
:<math>\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math>
:<math>\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx</math>
:<math>\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(za } n\neq -1\mbox{)}\,\! </math>
:<math>\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C </math>
:<math>\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C </math>

== Integrali jednostavnih funkcija ==
=== Racionalne funkcije ===
:''više integrala: [[Popis integrala racionalnih funkcija]]''
:<math>\int \,{\rm d}x = x + C</math>
:<math>\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ ako }n \ne -1</math>
:<math>\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C</math>
:<math>\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C</math>

=== Iracionalne funkcije ===
:''više integrala: [[Popis integrala iracionalnih funkcija]]''
:<math>\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C</math>
:<math>\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C</math>
:<math>\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C</math>

=== Logaritmi ===
:''više integrala: [[Popis integrala logaritamskih funkcija]]''
:<math>\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math>
:<math>\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C</math>

=== Eksponencijalne funkcije ===
:''više integrala: [[Popis integrala eksponencijalnih funkcija]]''
:<math>\int e^x\,dx = e^x + C</math>
:<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math>

=== Trigonometrijske funkcije ===
:''više integrala: [[Popis integrala trigonometrijskih funkcija]] i [[Popis integrala inverznih trigonometrijskih funkcija]]''
:<math>\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C</math>
:<math>\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math>
:<math>\int \tan{x} \, dx = \ln{\left| \sec {x} \right|} + C</math>
:<math>\int \cot{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} \right|} + C</math>
:<math>\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C</math>
:<math>\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C</math>
:<math>\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C</math>
:<math>\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C</math>
:<math>\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C</math>
:<math>\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C</math>
:<math>\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C</math>
:<math>\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C</math>
:<math>\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C</math>
:<math>\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx</math>
:<math>\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx</math>
:<math>\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C</math>

=== Hiperbolne funkcije ===
:''više integrala: [[Popis integrala hiperbolnih funkcija]]''
:<math>\int \sinh x \, dx = \cosh x + C</math>
:<math>\int \cosh x \, dx = \sinh x + C</math>
:<math>\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C</math>
:<math>\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C</math>
:<math>\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C</math>
:<math>\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C</math>
:<math>\int \mbox{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C</math>

=== Inverzne hiperbolne funkcije ===
: <math>\int \operatorname{arcsinh} x \, dx = x \operatorname{arcsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arccosh} x \, dx = x \operatorname{arccosh} x - \sqrt{x^2-1} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arctanh} x \, dx = x \operatorname{arctanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arccsch}\,x \, dx = x \operatorname{arccsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arcsech}\,x \, dx = x \operatorname{arcsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arccoth}\,x \, dx = x \operatorname{arccoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C</math>

== Određeni integrali koji nemaju antiderivacije u obliku zatvorene formule ==

Postoje neke funkcije čije antiderivacije ''ne mogu'' biti izražene u zatvorenom obliku. Međutim, vrijednosti određenih integrala nekih od ovih funkcija nad nekim uobičajenim intervalima mogu biti izračunate. Nekolicina korisnih integrala je dana dolje.

:<math>\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi</math> (vidjeti također [[gama funkcija]])

:<math>\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi</math> ([[Gaussov integral]])

:<math>\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}</math> (vidjeti također [[Bernoullijev broj]])

:<math>\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}</math>

:<math>\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}</math>

:<math>\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2}</math> (ako je ''n'' parni cijeli broj i <math> \scriptstyle{n \ge 2}</math>)

:<math>\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n}</math> (ako je <math> \scriptstyle{n} </math> neparni cijeli broj i <math> \scriptstyle{n \ge 3} </math>)

:<math>\int_0^\infty\frac{\sin^2{x}}{x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}</math>

:<math>\int_0^\infty x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)</math> (pri čemu je <math>\Gamma(z)</math> [[gama funkcija]])

:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]</math> (pri čemu je <math>\exp[u]</math> [[eksponencijalna funkcija]] <math>e^u</math>.)

:<math>\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)</math> (pri čemu je <math>I_{0}(x)</math> modificirana [[Besselova funkcija]] prve vrste)

:<math>\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \sqrt{x^2 + y^2} </math>

:<math>\int_{-\infty}^{\infty}{(1 + x^2/\nu)^{-(\nu + 1)/2}dx} = \frac { \sqrt{\nu \pi} \ \Gamma(\nu/2)} {\Gamma((\nu + 1)/2))}\,</math> (<math>\nu > 0\,</math>, ovo je povezano sa [[funkcija gustoće vjerojatnosti|funkcijom gustoće vjerojatnosti]] [[Studentova t-raspodjela|Studentove t-raspodjele]])

[[Metoda iscrpljivanja]] pruža formulu za opći slučaj kada ne postoji antiderivacija:

:<math>\int_a^b{f(x)\,dx} = (b - a) \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^{2^n - 1} {\left( { - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + m\left( {b - a} \right)2^{-n} )</math>

=== "Sofomorov san" ===
:<math>\begin{align}
\int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n} &&(= 1.291285997\dots)\\
\int_0^1 x^x \,dx &= \sum_{n=1}^\infty -(-1)^nn^{-n} &&(= 0.783430510712\dots)
\end{align}</math>

(prišiveno [[Johann Bernoulli|Johannu Bernoulliju]]; vidjeti [[sofomorov san]]).

[[Kategorija:Integrali|*]]

[[af:Lys van integrale]]
[[ar:جدول التكاملات]]
[[bs:Tabela integrala]]
[[de:Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen]]
[[en:Table of integrals]]
[[eo:Malderivaĵo]]
[[fr:Table de primitives]]
[[ko:적분표]]
[[id:Tabel integral]]
[[it:Tavola degli integrali più comuni]]
[[nl:Lijst van integralen]]
[[pt:Tábua de integrais]]
[[ro:Tabel de integrale]]
[[ru:Список интегралов элементарных функций]]
[[sl:Tabela integralov]]
[[sr:Таблични интеграли]]
[[tr:İntegral tablosu]]
[[uk:Таблиця інтегралів]]

Tablica integrala - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica