WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-23T04:55:08Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

'''Vektorski''' ili '''linearni prostor''' je jedan od osnovnih [[algebra|algebarskih]] pojmova u matematici i osnovni objekt proučavanja u grani algebre koju zovemo [[linearna algebra]]. Pojam vektorskog prostora je nastao apstrakcijom i poopćavanjem algebarske strukture na skupu svih slobodnih vektora u prostoru klasične euklidske geometrije.

Primjene su široke uključujući u temeljnim disciplinama kao što su [[matematička analiza|analiza]] i [[analitička geometrija]]. Definira se na sljedeći način:

Neka skup ''V'' ima strukturu [[Abelova grupa|Abelove grupe]] u odnosu na [[zbrajanje]]. Elemente skupa ''V'' zovemo [[vektor]]i. Neutralni element označujemo oznakom <math>\vec{0}</math> (ili ''0'') i zovemo ''nul-vektor'' ili nulti vektor.

Neka skup ''F'' ima strukturu [[polje (algebra)|polja]]. Elemente skupa ''F'' zovemo [[skalar]]i, a neutralne elemente u odnosu na dvije binarne operacije označujemo sa ''0'' i ''1''.

Na skupu ''F × V'' definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje ''F × V → V'', koje svakom skalaru <math>\alpha \in F</math> i svakom vektoru <math>x \in V</math> pridružuje vektor <math>\alpha x\in V</math>, tako da vrijede sljedeći aksiomi:

:'''''(I)''''' <math>\alpha (\beta \vec{v})=(\alpha \beta) \vec{v}, \forall \alpha , \beta \in F, \forall \vec{v}\in V</math>

:'''''(II)''''' <math> \alpha (\vec{v}+\vec{w})=\alpha \vec{v}+\alpha \vec{w}, \forall \alpha \in F, \forall \vec{v}, \vec{w} \in V</math>

:'''''(III)''''' <math> (\alpha + \beta )\vec{v}=\alpha \vec{v}+\beta \vec{w}, \forall \alpha ,\beta \in F, \forall\vec{v}\in V</math>

:'''''(IV)''''' <math>1 \vec{v}=\vec{v}, \forall \vec{v} \in V</math>

Ovako se definirano preslikavanje zove množenje vektora skalarom, dok se ''V'' opremljen tim preslikavanjem naziva '''vektorski prostor''' nad poljem ''F'' ili ''F''-vektorski prostor.

Ponekad se promatraju i vektorski prostori nad [[tijelo (algebra)|tijelom]], dakle u većoj općenitosti kad je ''F'' tijelo. Doslovno ponovljena gornja definicija gdje je ''F'' tijelo određuje lijevi vektorski prostor nad ''F''. Desni vektorski prostori definiraju se analogno, pri čemu je množenje skalarom zdesna, ''V × F → V''.

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori, a nad tijelom [[kvaternion]]a, kvaternionski vektorski prostori.

Neka je <math>S\subset V</math> podskup skupa vektora vektorskog prostora. Kažemo da je vektor <math>\vec{v}</math> linearna kombinacija elemenata od <math>S</math> ako se da napisati u obliku
<math>\alpha_1 \vec{v}_1 + \ldots + \alpha_k \vec{v}_k</math> gdje je <math>k</math> prirodni broj (ili nula) i gdje su <math>v_1,\ldots, v_k\in S</math> i <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in F</math>. Također možemo reći da je
<math>\alpha_1 \vec{v}_1 + \ldots + \alpha_k \vec{v}_k</math> linearna kombinacija vektora <math>v_1,\ldots, v_k</math>.
Kažemo da je <math>W\subset V</math> je vektorski (ili linearni) potprostor ako je svaka linearna kombinacija vektora iz <math>W</math> i sama u <math>W</math>. Ako je <math>S\subset V</math> ma koji skup vektora, tada je njegova '''linearna ljuska''' <math>Span_F(S)</math> skup svih vektora koji su linearne kombinacije vektora iz <math>S</math>. To je ujedno najmanji vektorski potprostor koji sadrži <math>S</math>.

Preslikavanje <math>L: V\to W</math> među skupovima vektora dva vektorska prostora <math>V</math> i <math>W</math> nad istim poljem ili tijelom <math>F</math> zovemo '''aditivnim''' ako <math>L(\vec{v}_1+\vec{v}_2) = L(\vec{v}_1)+L(\vec{v}_2)</math> za svaka dva vektora <math>v_1,v_2\in V</math>, '''homogenim''' ako <math>L(\alpha\vec{v}) = \alpha L(\vec{v})</math> za sve <math>\alpha\in F, \vec{v}\in V</math> i '''linearnim''' ako je i aditivno i homogeno preslikavanje. Linearno preslikavanje među skupovima vektora dvaju vektorskih prostora, nazivamo i linearnim operatorom (ili linearnom transformacijom) među vektorskim prostorima. Riječ linearni u sintagmi linearni operator se često i izostavlja.

Ukoliko je ''F'' polje, skup ''A'' opremljen [[djelovanje (algebra)|djelovanjem]] <math>A \times V\to A, (a,\vec{v})\mapsto t_{\vec{v}}(a)</math> ([[translacija]] za vektor) Abelove grupe ''V'' zovemo '''afini prostor''' (nad poljem ''F'') ukoliko je to djelovanje slobodno i [[Tranzitivna relacija|tranzitivno]]. Elemente od ''A'' zovemo točkama afinog prostora. Rezultat djelovanja vektora <math>\vec{v}\in V</math> na točki <math>a</math> označavamo s <math>t_{\vec{v}}(a)</math> ili <math>a + \vec{v}</math> i tumači se kao translacija točke <math>a</math> za vektor <math>\vec{v}</math>.

* Uvjet slobodnosti znači da ako je <math>a +\vec{v} = a</math> za neki <math>a</math> tada je <math>\vec{v} = \vec{0}</math>.

* Uvjet tranzitivnosti znači da za svake dvije točke <math>a,b\in A</math> postoji vektor <math>\vec{v}\in V</math> takav da je <math>a + \vec{v} = b</math>.
* Slobodnost povlači da je taj vektor jedinstven i označava se ponekad s <math>\vec{v} = b - a</math>.

To reproducira klasično određenje slobodnog vektora kao razreda ekvivalencije usmjerenih dužina, naime usmjerena dužina je određena uređenim parom točaka <math>(a,b)</math> (krajevi usmjerene dužine), a dvije usmjerene dužine su ekvivalentne ako se spojnica početka prve i kraja druge usmjerene dužine i spojnica početka druge i kraja prve dužine sijeku u jednoj točki koja ih raspolavlja.

Realni vektorski prostor <math>V</math> opremljen bilinearnom preslikavanjem <math> \left\langle, \right\rangle : V\times V\to </math> koje je linearno u oba argumenta (bilinearno preslikavanje), pozitivno definitno i simetrično zovemo realni unitarni prostor.

Konačno-dimenzionalni realni unitarni prostor ponekad nazivamo [[Euklid]]ski vektorski prostor. Pod Euklidskim prostorom u modernom smislu, međutim, češće podrazumijevamo konačno dimenzionalni afini prostor čiji vektorski prostor translacija je realni unitarni prostor.
== Literatura ==

Teorija konačno dimenzionalnih vektorskih prostora u potpunosti je izložena u knjizi [[Svetozar Kurepa|Svetozar aKurepa]]: ''Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene'', Tehnička knjiga, Zagreb, 1967. Knjiga sadrži i zadatke kao uvod u samostalni rad. Aspekti teorije u beskonačno dimenzionalnom slučaju izloženi su u [[Svetozar Kurepa]]: ''Funkcionalna analiza, elementi teorije operatora'', Školska knjiga, Zagreb, 1990. Kao uvod u vektorske prostore, s primjenama u geometriji, služe udžbenici za prirodoslovne gimnazije, kao npr. Branimir Dakić, Neven Elezović: ''Analitička geometrija'', Element, Zagreb, 1998.

[[Kategorija:Linearna algebra]]

Vektorski prostor - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica