WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-12-12T03:21:30Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

[[Datoteka:Viviani.png|250px|mini|desno|Zbroj udaljenosti točke T od stranica jednakostraničnog trokuta ABC jednak je duljini visine tog trokuta, tj. vrijedi
<math>|TT_a|+ |TT_b|+ |TT_c| = v.</math>]]
'''Vivianijev teorem''' je rezultat u [[euklidska geometrija|euklidskoj geometriji]] kojega je početkom [[18. stoljeće|18. stoljeća]] dokazao [[Italija|talijanski]] matematičar Vincenzo Viviani.

Teorem tvrdi da je za bilo koju izabranu [[Točka|točku]] <math>T</math> unutar [[Jednakostranični trokut|jednakostraničnog trokuta]] <math>ABC</math> zbroj udaljenosti točke <math>T</math> od stranica <math>a, b, c</math> trokuta <math>ABC</math> jednak visini tog trokuta.<ref>https://hrcak.srce.hr/234340</ref>

== Dokaz preko površina ==
Neka su <math>T_a, T_b </math> i <math>T_c</math> nožišta okomica iz točke <math>T</math> na stranice <math>BC, CA </math>
i <math>AB</math> trokuta <math>ABC</math>, a <math>v</math> visina trokuta <math>ABC</math>. Prikažimo površinu trokuta <math>ABC</math> pomoću zbroja površina tri trokuta <math> P_{\triangle ABC} = P_{\triangle TBC} + P_{\triangle TCA} + P_{\triangle TAB} </math>.

<math> \frac{av}{2} = \frac{a \cdot|TT_a|}{2} + \frac{a \cdot |TT_b|}{2} + \frac{a \cdot |TT_c|}{2}.</math>

Odovuda slijedi <math>|TT_a|+ |TT_b|+ |TT_c| = v.</math>

== Zanimljivosti ==
Zanimljivo je da se Vivianijev teorem može poopćiti i na pravilne mnogokute.

Naime, vrijedi da je zbroj udaljenosti bilo koje točke <math>T</math> pravilnog n-terokuta do njegovih
stranica neovisan o položaju točke <math>T</math>.

Dokaz.
Ako su stranice pravilnog n-terokuta duljine <math>a</math>, a udaljenosti od
točke <math>T</math> do stranica tog n-terokuta <math>v_1, v_2, ... , v_n </math>, tada je površina poligona
jednaka <math> P = \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}av_i </math>, dakle vrijedi <math>v_1 + v_2 + ... + v_n = \frac{2P}{a}. </math>

Može se dokazati da generalizacija Vivianijeva teorema vrijedi i za poligone kojima su svi unutarnji kutovi sukladni, tj. za tzv. ekviangularne poligone.

[[Datoteka:Dokaz-Viviani.png|250px|mini|središte|Poopćenje Vivianijeva teorema na pravilne mnogokute]]

== Izvori ==
{{izvori}}

[[Kategorija:Matematika]]

Vivianijev teorem - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica