Razlika između inačica stranice »Rolleov teorem«
(Bot: Automatski unos stranica) |
m (bnz) |
||
| Redak 1: | Redak 1: | ||
Rolleov teorem''' je jedan od najvažnijih teorema [[Diferencijalni račun|diferencijalnog računa]], a kaže da ako je funkcija <math> f </math> [[Neprekidnost funkcije|neprekidna]] na zatvorenom intervalu <math>[a,b]</math>, derivabilna na otvorenom intervalu <math>(a,b)</math> i ako vrijedi <math>f(a)=f(b)</math>, tada postoji točka <math>c \in(a,b) </math> takva da je <math> f'(c)=0. </math> | |||
Teorem je [[1691.]] dokazao [[Francuska|francuski]] [[Matematika|matematičar]] Michel Rolle, iako ga je iskazao još [[Indija|indijski]] matematičar Bhaskara II. u [[12. stoljeće|12. stoljeću]].<ref>https://www.britannica.com/science/Rolles-theorem</ref> | Teorem je [[1691.]] dokazao [[Francuska|francuski]] [[Matematika|matematičar]] Michel Rolle, iako ga je iskazao još [[Indija|indijski]] matematičar Bhaskara II. u [[12. stoljeće|12. stoljeću]].<ref>https://www.britannica.com/science/Rolles-theorem</ref> | ||
Trenutačna izmjena od 11:40, 24. ožujka 2022.
Rolleov teorem je jedan od najvažnijih teorema diferencijalnog računa, a kaže da ako je funkcija [math]\displaystyle{ f }[/math] neprekidna na zatvorenom intervalu [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], derivabilna na otvorenom intervalu [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] i ako vrijedi [math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math], tada postoji točka [math]\displaystyle{ c \in(a,b) }[/math] takva da je [math]\displaystyle{ f'(c)=0. }[/math]
Teorem je 1691. dokazao francuski matematičar Michel Rolle, iako ga je iskazao još indijski matematičar Bhaskara II. u 12. stoljeću.[1]
Zanimljivo je da se Rolleovim teoremom može dokazati i poznati teorem o međuvrijednostima.
Dokaz
Razlikujemo dva slučaja.
Ako je funkcija [math]\displaystyle{ f }[/math] konstantna na intervalu [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], odnosno [math]\displaystyle{ f(x)=k }[/math], [math]\displaystyle{ \forall x\in [a,b] }[/math] , tada je [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math], [math]\displaystyle{ \forall x\in (a,b) }[/math] pa je teorem dokazan.
Ako [math]\displaystyle{ f }[/math] nije konstantna, tada ona poprima svoju najveću ili najmanju vrijednost na intervalu [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] u nekoj točki [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math] pa tvrdnja slijedi iz Fermatovog teorema.[2]