Kompleksni broj

Kompleksni brojevi su algebarski izrazi oblika [math]\displaystyle{ a + bi }[/math], gdje su [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] realni brojevi, a [math]\displaystyle{ i }[/math] imaginarna jedinica koja ispunjava jednadžbu [math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math].

Zbrajanje, množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva definira se formulama:

[math]\displaystyle{ (a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i }[/math]

[math]\displaystyle{ (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i} = \frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2 +b_2^2} + \frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2} \cdot i }[/math]

U kompleksnom broju [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math] broj [math]\displaystyle{ a }[/math] se naziva realni dio, piše se [math]\displaystyle{ a = Re(z) }[/math], a broj [math]\displaystyle{ b }[/math] je imaginarni dio, i piše se [math]\displaystyle{ b = Im(z) }[/math].

Kompleksan broj čiji je realni dio jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz [math]\displaystyle{ i }[/math] jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi se u rješavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primjer, problema o prolazu struje kroz vodič, o profilu krila aviona itd. Kompleksni brojevi izniču u fizici zbog svoje geometrijske prirode (rotacije).

Ništa manje važna nije primjena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primjer, za određivanje korijena kubne jednadžbe potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Povijesno, kompleksni su brojevi uvedeni radi rješavanja kvadratne jednadžbe. Kvadratna ili bilo koja jednadžba višeg stupnja ako ima kompleksna rješenja, ta će rješenja uvijek doći u konjugiranim parovima - imaginarni dio im je suprotan. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povoda za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Leibnitz). Velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Euleru. Kompleksni broj se aksiomatski definira kao uređen par realnih brojeva [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]. Formule zbrajanja, množenja, dijeljenja se postuliraju ovako:

[math]\displaystyle{ (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\, }[/math],

[math]\displaystyle{ (a,b) \cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx) }[/math],

[math]\displaystyle{ \frac{(a,b)}{(x,y)} = ( \frac{ax+by}{x^2+y^2}, \frac{bx-ay}{x^2+y^2}) }[/math].

Par [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom [math]\displaystyle{ i }[/math]. Iz potonjih formula slijedi da je [math]\displaystyle{ i^2=-1 }[/math]. Operacije nad kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije nad kompleksnim brojevima pod radikalima (korijenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

[math]\displaystyle{ -1=i^2= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \not= \sqrt{(-1)(-1)}=1 }[/math].

Trigonometrijski oblik

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

[math]\displaystyle{ a+bi= \rho (\cos \phi +i \sin \phi )\, }[/math],

[math]\displaystyle{ \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \ \phi = \arctan \frac{b}{a} }[/math], za [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ \phi = \pi + \arctan \frac{b}{a} }[/math] za [math]\displaystyle{ a\lt 0 }[/math]; kada je [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] onda je [math]\displaystyle{ \phi = \frac{ \pi}{2} }[/math], ako je [math]\displaystyle{ b\gt 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ \phi =- \frac{ \pi}{2} }[/math], ako je [math]\displaystyle{ b\lt 0 }[/math]. Broj [math]\displaystyle{ \rho }[/math] se naziva modul kompleksnog broja, a [math]\displaystyle{ \phi }[/math] je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je vrlo pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se zbrajaju. Iz ovog pravila proizlazi De Moivreova formula:

[math]\displaystyle{ ( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\, }[/math] .

Kompleksni se brojevi često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravnini (slika dolje). Geometrijski smisao brojeva [math]\displaystyle{ a,b, \rho,\phi }[/math] vidi se na crtežu. U zbrajanju kompleksnih brojeva njihovi vektori se zbrajaju po pravilu paralelograma.

Duljina vektora [math]\displaystyle{ \rho }[/math] je modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorinog poučka. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrijednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sustava: [math]\displaystyle{ |z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2} }[/math].

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Vrijedi sljedeća Eulerova formula:

[math]\displaystyle{ e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi \, }[/math];

preko nje se definira stupnjevanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi oblikuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa [math]\displaystyle{ i }[/math], takvog da je [math]\displaystyle{ i^2=-1 }[/math].