Logaritam

Pogreška pri izradbi sličice:

Logaritamska funkcija po tri baze, crveno po bazi 10, zeleno po bazi e, plavo po bazi 2

Logaritam nekog pozitivnog realnog broja x u nekoj bazi b je broj y kojim se treba potencirati bazu da bi dobili zadanu vrijednost x.

Što pišemo na sljedeći način:

[math]\displaystyle{ \text{ ako je }x = b^y,\text{ onda je }y = \log_b (x)\,. }[/math]

Primjeri logaritama brojeva po bazi 10:

[math]\displaystyle{ \log_{10} (10) = log_{10} (10^1) = 1\,. }[/math]

[math]\displaystyle{ \log_{10} (100) = log_{10} (10^2) = 2\,. }[/math]

[math]\displaystyle{ \log_{10} (1.000) = log_{10} (10^3) = 3\,. }[/math]

[math]\displaystyle{ \log_{10} (10.000) = log_{10} (10^4) = 4\,. }[/math]

Negativni logaritam se piše kao n = −logb x; primjer njegove uporabe je u kemiji gdje predstavlja koncentraciju protona (pH).

Antilogaritam se koristi da označi funkciju inverznu logaritmu (eksponencijalna funkcija, odnosno stupnjevanje). Piše se kao antilog_b(n) i znači isto što i bⁿ.

Dvostruki logaritam je inverzna funkcija dvostruke eksponencijalne funkcije. Superlogaritam ili hiperlogaritam je inverzna funkcija supereksponencijalne funkcije. Superlogaritam za x raste sporije i od dvostrukog logaritma za veliko x.

Diskretni logaritam se spominje u teoriji konačnih grupa. Vjeruje se da je za neke konačne grupe diskretni logaritam vrlo teško izračunati, dok je diskretne eksponencijale vrlo lako izračunati. Ova asimetrija ima primjene u kriptografiji.

Povijest

Jost Birgi, švicarski proizvođač satova je prvi primijetio logaritme. Metodu prirodnog logaritma je prvi predložio 1614 John Napier u svojoj knjizi Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Ova metoda doprinijela je napretku znanosti, a posebno astronomiji, čineći neke teške računice mogućim. Sve do uporabe računala u znanosti, ova metoda je korištena u svim granama praktične matematike. Pored svoje uporabe u računima, logaritmi su popunili važno mjesto u višoj, teorijskoj matematici.

U početku, Napier je logaritme zvao "umjetnim brojevima", a antilogaritme "prirodnim brojevima". Kasnije, Napier je stvorio riječ logaritam, zvučnu kovanicu koja je trebala označiti odnos: λoγoς (logos) i αριθμoς (arithmos) što predstavlja broj. Termin antilogaritam je uveden pred kraj 17. stoljeća i, iako se nikada nije pretjerano koristio u matematici, postojao je u tablicama dok nije izašao iz uporabe.

Logaritamske operacije

[math]\displaystyle{ \log_b(x\cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\, }[/math]

[math]\displaystyle{ \log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) }[/math]

[math]\displaystyle{ \log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\, }[/math]

[math]\displaystyle{ \log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix} }[/math]

Ukidanje eksponenta

[math]\displaystyle{ b^{\log_b(x)} = x }[/math]

[math]\displaystyle{ \log_b(b^x) = x \!\, }[/math]

Promjena osnove

[math]\displaystyle{ \log_a b = {\log_c b \over \log_c a} }[/math]

Prirodni logaritam

Logaritam po bazi e (Eulerov broj) zovemo prirodnim logaritmom i pišemo kao ln umjesto log.

[math]\displaystyle{ \ln (e^3) = 3\,. }[/math] tj.--> 3 x lne = 3 x 1 = 3

Izvori

Pogreška pri izradbi sličice: Spremanje smanjene slike ("thumbnail") na ponuđenu mjesto nije moguće.

Nedovršeni članak Logaritam koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.