Kvadratna funkcija
Kvadratna funkcija je polinomna funkcija gdje je najveća potencija [math]\displaystyle{ n = 2. }[/math] Najčešće se zapisuje u obliku
- [math]\displaystyle{ y=f(x) = ax^2 + bx + c \, }[/math]
graf kvadratne funkcije u koordinatnom sustavu je parabola.
Na primjer,
- [math]\displaystyle{ y=f(x) = x^2 - x - 2 \, }[/math]
je kvadratna funkcija, čiji je graf prikazan je na slici desno.
Nultočke funkcije
U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nultočke funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kvadratne jednadžbe
- [math]\displaystyle{ x^2 - x - 2= 0\, }[/math]
rješenja koje su :
- [math]\displaystyle{ x_1=2, x_2=-1. \, }[/math]
Točke [math]\displaystyle{ (2, 0) }[/math] i [math]\displaystyle{ (-1, 0) }[/math] predstavljaju zato nultočke grafa funkcije
- [math]\displaystyle{ y= x^2 - x - 2 \, }[/math].
U jednostavnijim slučajevima nultočke funkcije možemo naći neposredno iz same funkcije. Naime, razmatrajući funkciju
- [math]\displaystyle{ y= x^2 - x - 2 \, }[/math]
na prvi pogled je vidljivo da se ona može prikazati u obliku umnoška dva binomna člana kao
- [math]\displaystyle{ y= (x+1)(x-2) \, }[/math]
gdje će očito vrijednost funkcije biti jednaka nuli za [math]\displaystyle{ x= -1 }[/math] i [math]\displaystyle{ x= 2 }[/math].
Ukoliko graf funkcije zaista siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, tada će nultočke funkcije biti realni brojevi jer su i rješenja kvadratne jednadžbe realna. Međutim, ukoliko graf funkcije ne siječe x-os tada niti odgovarajuća kvadratna jednadžba neće imati realna rješenja, već će se rješenja nalaziti u domeni kompleksnih brojeva.
Tjeme grafa funkcije
U primjeru datu kvadratnu funkciju možemo razmatrati i kao parabolu osnovnog oblika
- [math]\displaystyle{ x^2 = 2py \, }[/math]
no pomaknutu iz središta koordinatnog sustava, gdje je p poluparametar parabole. Iz funkcije zadane sa
- [math]\displaystyle{ y = x^2 - x - 2 \, }[/math]
može se naći redom
- [math]\displaystyle{ \begin{align} y &= x^2 - x - 2 \\ y +2&=x^2 - x \\ y +2&=x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \\ y +2+ \frac{1}{4}&= (x - \frac{1}{2})^2 \\ y +2,25 &= (x - \frac{1}{2})^2 \end{align} }[/math]
odakle slijedi da su koordinate tjemena T grafa funkcije određene koordinatama x=0,5 i y=-2,25 te govorimo o grafu funkcije čije je tjeme "pomaknuto" izvan središta koordinatnog sustava.
Ekstremi kvadratne funkcije
Kvadratna funkcija ima jedan ekstrem, minimum ili maksimum funkcije, a ovisno o predznaku vodećeg člana funkcije. Za funkciju
- [math]\displaystyle{ y= x^2 - x - 2 \, }[/math]
to će biti minimum funkcije (a>0) koji se na grafu funkcije nalazi u točki gdje je smješteno tjeme funkcije T. Ekstrem funkcije može se naći i na drugi način. Diferencirajući funkciju nalazimo da je
- [math]\displaystyle{ dy=2xdx-dx \, }[/math] odakle slijedi da je
- [math]\displaystyle{ dy=(2x-1)dx \, }[/math]
- [math]\displaystyle{ y' = \frac{dy}{dx}= 2x-1. \, }[/math]
Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0 što vrijedi za x=1/2, a to je upravo x koordinata tjemena parabole u grafu. Kako je, nadalje, druga derivacija za svaki x veća od nule, očito se zaista radi o minimumu funkcije što se evidentno vidi i iz grafa funkcije.
Parabola i kvadratna funkcija
Parabola je kao krivulja de facto graf kvadratne funkcije. Valja samo ustanoviti vezu između odgovarajućih članova polinoma kvadratne funkcije te poluparametra p parabole.
Paraboli s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava i osnosimetričnoj u odnosu na y-os koordinatnog sustava odgovara tjemena jednadžba oblika
- [math]\displaystyle{ x^2 = 2py \, }[/math]
odakle slijedi da je
- [math]\displaystyle{ y = \frac{1}{2p}x^2. \, }[/math]
Uspoređujući parabolu s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava kao grafa odgovarajuće kvadratne funkcije nalazimo da je
- [math]\displaystyle{ y = \frac{1}{2p}x^2 = ax^2 \, }[/math]
gdje je evidentno
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{2p} = a \, }[/math], odnosno [math]\displaystyle{ \frac{1}{2a} = p \, }[/math]
što predstavlja neposrednu vezu poluparametra parabole p i vodećeg člana a polinoma kvadratne funkcije. Do odgovarajuće sličnih odnosa može se doći i razmatranjem parabole, odn. odgovarajućeg grafa kvadratne funkcije s pomaknutim tjemenom izvan središta koordinatnog sustava.
Konačno, valja napomenuti da paraboli definiranoj tjemenom jednadžbom
- [math]\displaystyle{ y^2 = 2px \, }[/math]
odgovara inverzna kvadratna funkcija oblika
- [math]\displaystyle{ x=f(y) = ay^2 + by + c= 0\, }[/math]
gdje će sada, naravno, članovi a, b i c poprimiti neke druge vrijednosti, a uz zadržavanje svih odgovarajućih ekvivalentnih odnosa.
Značaj kvadratne funkcije
Razmatranje svojstava kvadratne funkcije često je na neki način uvod u analizu sve složenijih matematičkih funkcija i uvod u matematičku analizu općenito. Kvadratnu funkciju, međutim, vrlo često nalazimo u prirodi u različitim fizikalnim sustavima jer je, na primjer, u svakom ubrzanom gibanju prijeđeni put ovisan o kvadratu vremena, električna snaga na otporniku ovisna je o veličini otpora i kvadratu struje koja prolazi kroz njega, električna energija pohranjena u kondenzatoru ovisi o njegovu kapacitetu i kvadratu napona koji postoji na njegovim oblogama i td.
Literatura
- Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
- Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.