Kvaternion

U matematici, kvaternioni su algebarsko proširenje kompleksnih brojeva. Za razliku od kompleksnih brojeva, kvaternioni imaju tri imaginarne jedinice, koje se označavaju sa i, j i k i za koje vrijedi:

[math]\displaystyle{ \ i^2=j^2=k^2=ijk=-1 }[/math]

Ova relacija je definicija imaginarnih jedinica kvaterniona.

Za razliku od kompleksnih i realnih brojeva, množenje kvaterniona nije komutativno i vrijedi:

[math]\displaystyle{ \ ij=-ji=k }[/math]

[math]\displaystyle{ \ jk=-kj=i }[/math]

[math]\displaystyle{ \ ki=-ik=j }[/math]

Skup kvaterniona se označava sa [math]\displaystyle{ \mathbb{H} }[/math] u čast irskom matematičaru Williamu Rowanu Hamiltonu, koji ih je prvi formulirao.

Definicija

U trodimenzionalnom prostoru, jedinični vektori triju dimenzija zapisuju se pomoću kvaterniona.

Kvaternion [math]\displaystyle{ q = a + b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k} }[/math], sastoji se od skalarnog dijela a i vektorskog dijela (kvaternion [math]\displaystyle{ b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k} }[/math]).

Prostorne matematičke operacije

Konjugacija

Konjugacija je involucijska inverzna operacija, gdje operacija konugacije izvedena dvaput uzastopno vraća izvorni element. Za original [math]\displaystyle{ q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }[/math], konjugat q* znosi [math]\displaystyle{ q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} }[/math]. Konjugat se također može izraziti matematičkim operacijama zbrajanja i množenja, što nije slučaj sa kompleksnim brojevima:

[math]\displaystyle{ q^* = - \frac{1}{2} (q + \,\mathbf i \,q \,\mathbf i + \,\mathbf j \,q \,\mathbf j + \,\mathbf k \,q \,\mathbf k)~. }[/math]

Operacija konjugacije može se koristiti za dobivanje skalarnog i vektorskog dijela kvaterniona. Skalarni dio dobiva se formulom [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}(p+p^*) }[/math] dok je vektorski dio jednak [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}(p-p^*) }[/math].

Modul ili norma

Kvadratni korijen umnoška kvaterniona i njegovog konjugata naziva se modulom ili normom kvaterniona. Modul predstavlja duljinu kvaterniona u prostoru:

[math]\displaystyle{ \|q\| = \sqrt{qq^*} = \sqrt{q^*q} = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2} }[/math]

Jedinični kvaternion

Jedinični kvaternion je kvaternion kojemu je modul jednak 1. Operacija podjele kvaterniona i njegovog modula uvijek će dati jedinični kvaternion, još zvan i verzorom tog kvaterniona:

[math]\displaystyle{ U_q = \frac{q}{\|q\|} }[/math]

Polarne koordinate kvaterniona moguće je zapisati kao umnožak modula (duljine) i jediničnog kvaterniona: [math]\displaystyle{ q=\|q\| \cdot U_q }[/math].

Recipročni kvaternion moguće je opisati kao količnik konjugata i norme:

[math]\displaystyle{ q^{-1}=\frac{q^*}{\|q\|} }[/math]

Pogreška pri izradbi sličice: Spremanje smanjene slike ("thumbnail") na ponuđenu mjesto nije moguće.

Nedovršeni članak Kvaternion koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.